不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的工具，所以不等式是高考数学命题的重点.不等式的性质的考查常与函数的性质等结合在一起，一般多以选择题的形式出现，有时与充要条件的知识结合起来．

例1、（黄冈）已知实数a，b，c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax2＋bx＋c.

　　（1）求证：；

　　（2）当a为何值时，方程f(x)=0在（0，1）内有解？

分析：本题利用不等式的基本性质，充分体现了函数、方程与不等式之间的关系。

解：

　　∴m>0，∴.

（2）f(0)=c，f(1)=a＋b＋c，当a>0时，由（1）知，∴.

　　若c>0，f(0)=c>0，∴方程f(x)=0在（0，）内有解.

　　若c≤0，f(1)= a＋b＋c=a＋(m－1)·＋c=>0，

　　∴方程f(x)=0在内有解.

　　当a<0时，同理可证.

　　由（1）知a≠0，故当a≠0时，方程f(x)=0在（0，1）内有解.

　　应用问题与不等式的结合考查在高考中非常多见，尤其是运用重要不等式，求最值的题型．

例2、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（全国高考题）

分析：

　　先根据题意画出草图，设画面的宽为自变量x（cm），将所用纸张面积表示成x的函数，再求函数的最小值.

解：如图所示，设画面的宽为xcm，则画面的高为，设纸张面积为Scm2.

答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小.

例3、（全国·理·文）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

　　（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

　　（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析：根据题意建立函数关系式，然后运用不等式的性质求最值.

解：

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

　　故所求函数及其定义域为.

（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有

　　

　　因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，

　　所以，且仅当v=c时等号成立，

　　也即当v=c时，全程运输成本y最小.

　　综上知，为使全程运输成本y最小，当≤c时行驶速度应为v=；

　　当>c时行驶速度应为v=c.

小结：

　　与不等式有关的应用问题，在用重要不等式求最值时，应注意“正、定、等”三个字，即研究的对象为正数，积或和为定值，相等时取最小值或最大值.

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