1、课本P12上例2：“已知a，b，m都是正数，并且a<b，求证 ”
为了应用上的方便，可将不等式作出推广：即当0<a≤b，且m≥0时，有 ，其中等号当且仅当a=b或m=0成立．
下面我们看看此不等式的应用．
例、设a>b>m>0，求证：
分析：运用以上不等式及余弦函数的单调性去证明．
证明：由a>b>m>0，有
又y=cosx在 内是减函数，从而有
下面请同学们运用此不等式来证明下题：
设a，b为实数，求证： ．
提示：取m=|a|＋|b|－|a＋b|，可见m≥0， 于是
2、柯西不等式是一个很重要的不等式，它的形式如下：对于任意实数ai，bi(i=1，2，…，n)，有（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2≤(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)，其中当且仅当ai=kbi，即ai与bi（i=1，2，…，n）成比例时取等号，对于这个不等式，我们可以采取构造函数法证之.
证明：
显见，对x，ai，bi的一切实数值（不妨设bi（i=1，2，…，n）不全为零，否则命题显然成立.），多项式
(b1x－a1)2＋(b2x－a2)2＋…＋(bnx－an)2
恒不为负，即对于一切实数x，有
从而方程f(x)=0的判别式
由此即得
其中当且仅当方程f(x)=0有二重根x=k时取等号.
于是可由 
推得，当且仅当 bik－ai=0，即ai=kbi（i=1，2，…，n）时取等号.
现在同学们可尝试用柯西不等式证明下题：
如果a1，a2，…，an为实数，那么：
提示：
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