最值与定值

　　最值问题包括长度的最值，可展曲面的最短线路、角度的最值以及面积的最值等问题．在复习最值等问题时，应根据题目条件，把多余问题“单一化”，写出相应的目标函数，再用代数中的一些求值的方法求出最值来．在立体几何中，证明定值问题通常有两种方法：一是直接法，即从已知条件出发（一般情况），直接进行推理、计算，并求出定值；二是特殊值法，即先由特殊情况（或极限情况），估计出定值，然后对一般情况，证明它等于这个定值．

例1、如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过BD1的截面分别交AA1、CC1于E、F点，求四边形BED1F面积的最小值．

分析：

　　显然截面BED1F为平行四边形，且此平行四边形的对角线BD1为定值，故欲求四边形面积的最小值即求E到BD1的距离最小值．

解析：

　　由以上分析知，欲求E到BD1的最小距离，即求异面直线AA1和BD1间的距离，另求得这个距离为.从而平行四边形BED1F面积最小值为

　　＝2××·＝．

例2、正四棱柱ABCD—中，P为对角线上一动点，设PC与面AC所成的角为，PD与面所成的角为．求证：tan·tan为定值．

分析：

　　如图所示，欲证tan·tan为定值，首先应把tan·tan用正四棱柱的某些元素表示出来，方可证出．

解析：

　　∵P在上运动，∴可设PA＝x.

　　作PM⊥AC，在Rt△PCM中，tan＝　　　①

　　又∵PM∥，∴　　　　　　②

　　即CM＝，②代入①得

　　tan＝，同理，过点P作PN⊥，可得

　　tan＝

　　∴ tan·tan＝·（定值）.

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