面面垂直的判定与性质以及二面角，在高考中偶有考查，要熟练掌握所涉及的有关定理以及解决问题的一般方法．

例1、（高考·重庆卷）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求：

　　（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；

　　（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.

分析：根据条件找公垂线和二面角的平面角.

解法一：

　　（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，

　　又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的射影，

　　由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.

　　设DE=x，因△DAE∽△CED，故（负根舍去）.

　　从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.

　　（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，

　　故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.

　　因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.

　　因此∠EHG为二面角的平面角.

　　在面PDC中，PD=，CD=2，GC=

　　因△PDC∽△GHC，故，

　　又

　　故在

　　即二面角E—PC—D的大小为

解法二：

　　（Ⅰ）以D为原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

　　由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，

　　C（0，2，0）设

　　由，

　　即由，

　　又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，

　　故异面直线PD、CE的距离为1.

　　（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由得

　　即作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），

　　则

　　由，

　　又由F在PC上得

　　因故平面E—PC—D的平面角的大小为向量的夹角.

　　故即二面角E—PC—D的大小为

例2、（全国）如果直线 、m与α、β、γ平面满足：=β∩γ，∥α，mα和m⊥γ，那么必有（　）

A、α⊥γ且⊥m　　　　　　　　　 B、α⊥γ且m∥β

C、m∥β且⊥m　　　　　　　　　　D、α∥β且α⊥γ

解答：

　　依题意，m⊥γ，且mα，则必有α⊥γ，

　　又因为=β∩γ，则有γ，

　　而m⊥γ，则⊥m.

　　故选A.

答案：A

例3、（全国）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：

　　①m⊥n　　②α⊥β　　③n⊥β　　④m⊥α

　　以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题.

解答：

　　课本上有习题结论：自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成角与二面角的平面角互补.

　　由此结论知应为①③④②或②③④①.

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