曲线与方程是解析几何中的重要概念，求曲线的方程是高考的热点之一，但这个内容常与椭圆，双曲线，抛物线等内容相联系，我们应深入领会曲线的方程和方程的曲线的概念，保证曲线的纯粹性和完备性，熟悉求曲线方程的基本方法，并在以后学习中逐步深入．
圆的方程在高考中较为常见，由于圆的性质很多应注意解决这类问题时充分运用几何性质.直线与圆的知识通常综合考查.
例1、（上海高考试题）直线
绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是（ ）
A．直线过圆心
B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切
D．直线与圆没有公共点
分析：
直线
绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线方程如何求？这是第一步，求出旋转后的直线方程后，转变成判断一直线与圆的位置关系问题．
解答：
∵直线
的倾斜角为30°，∴按逆时针方向旋转30°后，得直线的倾斜角为60°，
∴旋转后的直线方程为
圆心（2，0）到直线
的距离为
∴直线与圆相切，故选C．
例2、（全国·文）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）（如图所示）．求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
分析：涉及切线长，可考虑切线的性质，将切线长转化为到圆心的距离与半径的距离.
解：设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ>0.
因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.
设点M的坐标为（x，y），则
整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)=0．
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程.
当λ=1时，方程化为x=
，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（
，0）；
当λ≠1时，方程化为
它表示圆，该圆圆心的坐标为
.
例3、(全国·理)设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3︰1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
分析：
首先求出满足条件①、②的圆的圆心轨迹方程，然后由圆心到直线x－2y=0的距离的代数式与圆心满足的条件，确定距离最小的圆心的坐标.
解：
解法1：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为
r，故r2=2b2.
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有：r2=a2＋1.
从而得2b2－a2=1.
又点P（a，b）到直线x－2y=0的距离为
.
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2，知r=
.
于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2＋(y＋1)2=2.
解法2：
同解法1得
，
将a2=2b2－1代入①式，整理得：
②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
△=8(5d2－1)≥0，得5d2≥1.
所以，5d2有最小值1，从而d有最小值
.
将其代入②式得2b2±4b＋2=0，解得b=±1.
将b=±1代入r2=2b2，得r2=2，由r2=a2＋1，得a=±1.
综上，a=±1，b=±1，r2=2.
由|a－2b|=1知，a，b同号.
于是，所求圆的方程是
(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2＋(y＋1)2=2.
