一、圆系与圆系问题
具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．几种常见的圆系方程有：
1°同心圆系： (x-x0)2+(y-y0)2=r2（x0,y0为常数，r为参数）
2°圆心共线的半径相等的圆系：
(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r为常数，圆心（x0,y0）在直线ax+by+c=0上移动)
3°过两已知圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方程：
x2+y2+D1x+E1y+F1+ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
4°过直线与圆交点的圆系方程：
设直线l∶Ax+By+c=0与圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则方程x2+y2+Dx+Ey+F＋λ(Ax+By+c)=0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．
例题：已知圆C的半径为 ，圆心在直线x-y-2=0上，且过点（-2，1），求圆C的方程．
解： ∵圆心在直线x-y-2=0上，且r= ，
∴设圆心为(t, t-2)(t为参数)，
∴圆C的方程为：(x-t2)+(y+2-t)2=17，
∵圆C过点（-2，1） ，
∴（-2-t)2+(1-t+2)2=17，
解得 t=2，或t=-1，
∴圆心C的坐标是（2，0）或（-1,-3）．
∴所求圆C的方程是：（x-2）2+y2=17或（x+1）2+(y+3)2=17．
同学们不妨利用圆系知识解决如下问题：
已知圆在x轴上两个截距分别为a,b，在y轴上的一个截距为c(c≠0)， 试求此圆的方程．
二、切点弦方程
问题1：过圆x2＋y2=r2外一点M（x0，y0），作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程（直线AB称作切点弦）.
解：
如图所示，设切点A的坐标为（x1，y1），切点B的坐标为（x2，y2）.
因为圆的方程为x2＋y2=r2 ①
所以过圆上一点A（x1，y1）所作的切线的方程为x1x＋y1y=r2 ②
由于M（x0，y0）在直线AM上，所以x1x0＋y1y0=r2 ③
同理，根据点M在切线BM上，得x2x0＋y2y0=r2 ④
③④表明，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）都在下面的直线上x0x＋y0y=r2 ⑤
因为过两点只有一条直线，所以⑤就是直线AB的方程.
即点M的切点弦方程为：x0x＋y0y=r2.
问题1解法的基本思想是设而不求.设了点A和点B的坐标，但是不求出这些坐标，只是借用它们的形式，把最终的问题解决.
从问题1中，我们不仅学习了切点弦方程，还学习了设而不求的解题思想.下面看一个与之相关的问题.
问题2：设M(x0，y0)是圆x2＋y2=r2内的一点，但不是圆心.过点M任意作两条不通过圆心的弦AB和CD，分别过点A、B作圆的切线相交于点P，过点C、D作圆的切线相交于点Q，求直线PQ的方程.
解：如图，设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），因为圆的方程是x2＋y2=r2 ①
PA、PB是过圆外一点所作圆的切线，A、B是切点，所以切点弦AB的方程为x1x＋y1y=r2 ②
同理切点弦CD的方程为x2x＋y2y=r2 ③
因为M(x0，y0)在直线AB上，所以x1x0＋y1y0=r2 ④
同理M（x0，y0）在直线CD上，所以x2x0＋y2y0=r2 ⑤
④⑤表明点，点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）都在下面的直线上x0x＋y0y=r2 ⑥
因为过两点只有一条直线，所以⑥就是直线PQ的方程.
不难看出，上述两个问题的紧密联系，同样是用设而不求的思想方法，问题2还运用了问题1的结论，更为有趣的是二者其实还是一个问题的两个方面，具体如下：
一般地，已知圆x2＋y2=r2和平面内的任意点M（x0，y0），只要M不是圆心（0，0），总可以作出对应的直线m：x0x＋y0y=r2.这样得到的直线m叫做点M关于圆的极线（当M在圆外时，m也叫切点弦），点M叫作直线m的极点.
问题1是点M在圆外时的情况，问题2是点M在圆内时的情况，并且同时也给出了作相应极线的几何作图方法.当然，点M在圆上时，它的极线就是过点M的圆的切线.三种情况的极线方程都是x0x＋y0y=r2，这种高度的统一性真是妙不可言.其实极点、极线的概念就是切点、切线概念的推广，它们还有很多重要的性质，高等几何中里有详细研究.
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