（全国高中联赛一试15题）

　　一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a.折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合．这样的每一种折法，都留下一条直线折痕．当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

分析：

　　画出草图，选择几条特殊直线作出后不难发现，有可能是以O，A为焦点的椭圆上或外部，关键求长轴长．

解法一：

　　由折法知，A′、A两点关于折痕所在直线l对称（如图），即l为线段AA′的垂直平分线.

连结OA′交l于P，则PO＋PA=PO＋PA′=OA′=R.

故点P在以O、A为焦点，长轴长为R的椭圆上．

设P′是直线l上不同于P的任一点，则P′O＋P′A=P′O＋P′A′>OA′=R.

所以，点P′在上述椭圆的外部.

故折痕所在直线l上点的集合为以O、A为焦点，R为长轴的椭圆上或外部．

解法二：

建立直角坐标系如图，则A（a，0）.

设A′（Rcosθ，Rsinθ），当θ≠kπ（k∈Z）时，线段AA′的垂直平分线方程为：

这是一个关于θ的三角方程，其有实数解的充要条件是

化简得 .

当θ=kπ（k∈Z）时，A′点在x轴上，则，显然满足上述不等式.

故所求点的集合为椭圆.

解法三：

　　如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A（a，0）.设折叠时⊙O上点A′（Rcosα，Rsinα）与点A重合，而折痕为直线MN，则MN为线段AA′的中垂线．设P（x、y）为MN上任一点，则|PA′|=|PA|.

　　∴ (x－Rcosα)2＋(y－Rsinα)2=(x－a)2＋y2.

　　

　　（此不等式也可直接由柯西不等式得到）

　　平方后可化为 .

　　即所求点的集合为椭圆

　　外（含边界）部分.

-END-