折叠与展开

　　在立体几何中将平面图形翻折成空间图形，或将空间图形展开成平面图形是一个难点，但只要正确分析折前展后的图形，注意对比，注意它们之间点、线、面的相互位置关系哪些改变，哪些没有改变，然后结合所学知识去求解，则并不很困难．

例1、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD=CD，将△ADE沿DE折起，使点A到达A′，若A′C=A′B，M为DE中点，求证：A′M⊥平面BCDE.

分析：应充分利用“直角”、“等长”“等腰”，中点等的性质．

证明：如图，设BC的中点为N，连A′N、MN，A′B，A′C，

　　　则A′M⊥DE，A′N⊥BC，MN⊥BC，

　　　∴ BC⊥平面A′MN，

　　　∴ BC⊥A′M，于是A′M⊥DE，且A′M⊥BC，

　　　又DE与BC相交（否则，∠DEA=90°，AD>AE，与题设AD=AE矛盾），

　　　∴ A′M⊥平面BCDE.

例2、如图，ABCD—A1B1C1D1是一实心长方体木料，且AB=5，AD=4，AA1=3，问一蚂蚁从B点经长方体木料表面爬行到D1的最短距离是多少？

分析：

　　平面上两点间距离最短，可将木料抽象为一个由几个面围成的几何体，将其沿棱展开成平面图形来解决.

解析：共有如下三种展开方法，可使BD1的连线刚好经过两个表面.

　　　图（1）中有：

　　　图（2）中有：

　　　图（3）中有：

　　　故，蚂蚁爬行的最短路程为.

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