直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理是高考考查的重点，但常与简单几何体综合起来考查，总之，都应熟练掌握．

例1、（全国）下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是_________.（写出所有符合要求的图形序号）

分析：

　　本题主要考查直线和平面的位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，所要用的知识点主要是“由三垂线定理推证，得到的体对角线与其不相交的面对角线垂直”．

解析：

　　由正方体的对角线与它异面的面对角线垂直，如图（1）中有⊥B1D1，

　　又MP∥B1D1，∴ ⊥MP.

　　同理，⊥NP，MP∩NP=P，∴ ⊥面MNP.

　　设Q是所在棱的中点，在图（2），图（3）中，要证明⊥面MNP不可能，可用反证法证明不垂直于面MNP.

　　在图（2）中，若⊥面MNP，则⊥MN，又⊥MQ，

　　∴ ⊥面MNQ，则⊥NQ，即⊥AD，不可能.

　　在图（3）中，若⊥面MNP，则⊥NP，又⊥QN，

　　∴ ⊥面NPQ，若⊥PQ，即⊥AB1，也不可能.

　　在图（4）中，⊥PQ，⊥QN，∴⊥面PQN，

　　∴ ⊥PN，又⊥MP，∴ ⊥MNP.

　　有了图（4）中的结论⊥PN，则在图（5）中必有⊥MN，

　　同理⊥NP（或⊥MP），∴ ⊥面MNP.

答案：①④⑤

例2、(全国)如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB =∠C1CD=∠BCD=60°.

　　（1）证明：C1C⊥BD；

　　（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

　　（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

分析：

　　在高考立体几何题中，证明线线垂直，线面垂直，线面平行，面面平行较为常见，本题第二问我们没学，不讲，对于（1）问可用线面垂直或三垂线定理推线线垂直；对于（3）问，则应考虑到三个角相等，两个面DD1C1C与BB1C1C全等且底面为菱形，从而猜想CD=CC1，证明结论，对于有些类似于此类的问题，我们也常设结论成立，反推条件应如何？

解析：

　　（1）证法一：如图，连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O.

　　　∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，BC=CD.

　　　又∵ ∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，

　　　∴ △C1BC≌△C1DC.

　　　∴ C1B=C1D.

　　　∵ DO=OB，∴ C1O⊥BD.

　　　但AC⊥BD，AC∩C1O=O，∴ BD⊥平面AC1.

　　　又CC1平面AC1.∴ C1C⊥BD.

　　　证法二：如图.

　　　∵ ∠C1CB=∠C1CD，

　　　∴ C1C在平面AC上的射影CH为∠BCD的平分线.

　　　∵ 底面ABCD为菱形，∴ C1C在平面AC上的射影为AC.

　　　∵ AC⊥BD，∴ C1C⊥BD.

　（3）证法一：如图所示，不妨设CD=1，C1C=λ>0，

　　　则正ΔBCD中BD上的高OC=.

　　　由（1）知BD⊥平面AA1C1C，

　　　∴ 由BD平面C1BD知，平面AA1C1C⊥平面C1BD于OC1.

　　　∴ 欲使AC1⊥平面C1BD，只需A1C⊥C1O.

　　　设C1O∩A1C=P，则由A1C2·C1O，得

　　　

　　　即A1C2＋C1O2=9·CO2　　①

　　　又∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，易得cos∠C1CO=.

　　　在△C1CO和△A1CA中，有

　　　

　　　解得λ=1（舍去）.

　　　故当时，能使A1C⊥平面C1BD.

　　证法二：

　　由（1）知，BD⊥平面AC1.

　　∵ A1C平面AC1，∴ BD⊥A1C.

　　当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C.

　　又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面C1BD.

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