对于空间的角的计算问题，一般以多面体特别是三棱锥、四棱锥、正方体、长方体等为载体，考查点、线、面位置关系，求距离和角度．一般是逐步设问，难度逐步加深．求解空间的角的问题，常见的是异面直线所成的角，直线和平面所成的角，平面与平面所成的角，这类试题有一定的难度和技巧，通常把它们转化成相交直线所成的角，要在练习中注意解决求角的方法.

例1、（浙江高考试题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.

分析：

　　本题主要考查空间线面关系等基础知识，同时考查空间想象能力和运算能力。特别是利用向量解决线线角、线面角、面面角及点面距离具有一定的优势。

解答：方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

　　　　∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

　　　　∴四边形AOEM是平行四边形，

　　　　∴AM∥OE.

　　　　∵平面BDE，平面BDE，

　　　　∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

　　　　∵AB⊥AF， AB⊥AD，

　　　　∴AB⊥平面ADF，

　　　　∴AS是BS在平面ADF上的射影，

　　　　由三垂线定理得BS⊥DF。

　　　　∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

　　　　在RtΔASB中，

　　　　∴

　　　　∴二面角A—DF—B的大小为60°。

　　（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

　　　　　∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

　　　　　∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，

　　　　　∴PQ⊥QF。

　　　　　在RtΔPQF中，∠FPQ=60°，

　　　　　PF=2PQ。

　　　　　∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

　　　　　∴

　　　　　又∵ΔPAF为直角三角形，

　　　　　∴，

　　　　 ∴　

　　　　所以t=1或t=3(舍去)

　　　　即点P是AC的中点。

　　方法二

　　（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

　　　　　设，连接NE，

　　　　　则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

　　　　　∴=(,

　　　　　又点A、M的坐标分别是（）、（，

　　　　　∴=（

　　　　　∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM。

　　　　　又∵平面BDE，平面BDE，

　　　　　∴AM∥平面BDF。

　　（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。

　　　　　∴为平面DAF的法向量。

　　　　　∵=（·=0，

　　　　　∴=（·=0得,，

　　　　　∴NE为平面BDF的法向量。

　　　　　∴cos<>=

　　　　　∴的夹角是60°。

　　　　　即所求二面角A—DF—B的大小是60°。

　　（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

　　　　　∴=（，0，0）

　　　　　又∵PF和CD所成的角是60°。

　　　　　∴

　　　　　解得或（舍去），即点P是AC的中点。

例2、(湖南省)如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图．

　　(1)证明：AC⊥BO1；

　　(2)求二面角O—AC—O1的大小．

分析：

　　本题考查直线和直线，直线和平面的位置关系，异面直线所成的角，二面角等基本知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力.

解答：

　　(1)证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标是A(3,0,0)，B(0,3,0)，．

　　　　从而．

　　　　所以AC⊥BO1；

　　(2)解：因为所以BO1⊥OC，

　　　　再由(1)AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量．

　　　　再设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量，

　　　　由．

　　　　设二面角O—AC—O1的大小为θ，由n、的方向可知

　　　　所以

　　　　即二面角O—AC—O1的大小是.

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