一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（06年山东）定义集合运算：A⊙B=｛z|z= xy(x＋y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．0 B.6
C.12 D.18
2．（06年辽宁卷）设 是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意 有   ，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ）
A.自然数集 B.整数集
C.有理数集 D.无理数集
3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆 方程中的 和 ，则能组成落在矩形区域 内的椭圆的个数是（ ）
A. 43 B. 72
C. 86 D. 90
4．（05福建） 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且 ，则方程 =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A.48 B. 18
C. 24 D.36
6．点P到点A( ，0)，B(a，2)及到直线x＝－ 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）
A. B.
C. 或 D.－ 或
7．如果二次方程 x2－px－q=0(p，q∈N*) 的正根小于3，那么这样的二次方程有（ ）
A. 5个 B. 6个
C. 7个 D. 8个
8. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（ ）
A. 不存在 B. 只有1个
C. 恰有4个 D. 有无数多个
9.（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0－9和字母A－F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
十进制 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
例如，用十六进制表示：E＋D=1B，则 （ ）
A.6E B. 72
C.5F D. B0
10．设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝ ， λ2＝ ，λ3＝ ，定义f(P)＝(λ1， λ2， λ3)，若G是△ABC的重心，且f(Q)＝（ ， ， ），则（ ）
A. 点Q在△GAB内 B. 点Q在△GBC内
C. 点Q在△GCA内 D. 点Q与点G重合
[提示]
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下：__________________.
12．规定记号“ ”表示一种运算，即 （0，＋∞）. 若 ，则函数 的值域是__________________.
13．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行 |
1 |
第2行 |
23 |
第3行 |
4567 |
… |
… |
则第9行中的第4个数是__________________.
14．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_________________.
15．（05年湖南）设函数f (x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0， ]上的面积为 （n∈N*），（i）y＝sin3x在[0， ]上的面积为____________；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[ ， ]上的面积为___________.
16．（06年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
[答案]
三、解答题
17．（05年全国Ⅰ）设函数 ，y=f(x)图像的一条对称轴是直线 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求函数 的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线 于函数 的图像不相切．
[答案]
18．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是 ．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为 ．
(I)求P0，P1，P2；
(II)求证: ；
(Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率．
[答案]
19． (05年北京)如图，直线l1： 与直线l2： 之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.
（Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2；
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.
[答案]
20．设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是 、 ，坐标平面上点 、  分别满足下列两个条件：① 且 ＝ ＋ ；② 且 ＝ .
（Ⅰ）求 及 的坐标；
（Ⅱ）若四边形 的面积是 ，求  的表达式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的 ，是否存在最小的自然数M，对一切 都有 ＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．
[答案]
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