一、复习策略

　　化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正．

　　应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化．常见的转化有：

1、等与不等的相互转化

　　等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口．

2、正与反的相互转化

　　对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决．

3、特殊与一般的相互转化

　　对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举．

4、整体与局部的相互转化

　　整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始．

5、高维与低维的相互转化

　　事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，通过降维转化，可把问题由一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见．

6、数与形的相互转化

　　通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化．

7、函数与方程的转化

二、典例剖析

例1．函数极限的值为（　　）.

A．　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　D．

分析：

　　依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化.

解：由导数的定义可知

．

故选C．

点评：

　　本题借用函数极限的具体形式，旨在考查对导数定义的正确理解，因而转化为求函数在处的导数．

例2．数列中，，，则＝______________.

解：

　　通过求猜想，从而达到解决问题的目的，也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，

点评：

　　利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.

例3．（2005年湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（　）

A．　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　D．

分析：

　　以平行六面体的八个顶点中任取三点为顶点可以构成56个三角形，从这56个三角形中任取两个，这两个三角形不共面有多少种不同取法？直接去做较困难，若利用“化归转化”数学思想，采用“正与反的相互转化”，正难则反，从问题的反面入手，找出共面的三角形的对数，问题较易解决．

解析：

　　以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中随机取出两个三角形共有＝28×55种取法，其中两个三角形共面的为，故不共面的两个三角形共有(28×55－12×6)种取法，∴以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为，选(A)．

点评：

　　当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面入手，将不符合条件的情况去掉（这在排列组合、概率题中常用），或验证问题的反面不成立（反证法），从而使问题得以解决．

例4．（2006年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．

分析：

　　这里求CP＋PA1的最小值，而CP与PA1在直三棱柱ABC－A1B1C1的两个不同平面内，因此需利用“高维与低维的相互转化”把立体问题转化为平面问题来解决．

解：

　　连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．

　　通过计算可得∠A1C1B＝90°又∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，由余弦定理可求得A1C＝.

点评：

　　此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化思想在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体，同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯穿于立体几何始终；线线、点面、线面、面面之间的距离，既相互联系，又可相互转化．各种转化策略的运用，是解决立几问题的法宝．

例5．已知函数的部分图象如图(，且)．

　　(1)求的值；

　　(2)若关于的方程（，且）有两个不等实数根；

　　①若证明在（－π，）内有两个不等实数根；

　　②上述①的逆命题是否成立，并证明．

解：

　　(1）由图象易知函数的周期为（π）=2π．

　　∴，上述函数的图象是由的图象沿轴负方向平移个单位得到的，其解析式为．

　　∴

　　(2）①由得||≤∴＞－1．

　　同样||≤∴＜１．

　　令，显然

　　而二次函数的对称轴∈(－1,1)．

　　∴二次方程两实根在（－1，1）中．

　　∴关于的方程在（－，）内有两个不同实根．

　　②逆命题不成立．

　　反例，关于的方程为．

　　显然方程在（－，）内有两个不等的实根，并=＋=1．

例6．（2007安徽卷理）设，．

（1）令，讨论在内的单调性并求极值；

（2）求证：当时，恒有．

分析：

　　（1）讨论在内的单调性并求极值只需求出的导数即可解决；

　　（2）要证当时，恒有，可转化为证时，亦即转化为时恒成立；因，于是可转化为证明，即在上单调递增，这由（1）易知．

解：

　　（1）根据求导法则有，

　　故，于是，列表如下：

		2
	－	0
		极小值

　　故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

　　（2）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．

　　从而当时，恒有，故在内单调递增．

　　所以当时，，即．

　　故当时，恒有．

点评：

　　对于证明在区间恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明在区间上恒成立，令，即可转化为在上，这样只需求出在区间上的最小值即可解决之．这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到．

例7．（2007年全国Ⅱ理）设数列的首项．

　　（1）求的通项公式；

　　（2）设，证明，其中为正整数．

分析：

　　（1）已知数列的递推公式，求数列的通项，常通过变形使之转化为形式的等差或等比数列来解决；（2）比较与的大小，这里由于式子里含有根号，因此可通过平方化无理为有理，比较与的大小．

解：

　　（1）由整理得．

　　又，所以是首项为，公比为的等比数列，

　　得．

　　（2）方法一：由（1）可知，故．那么，

　　

　　又由（1）知且，故，因此为正整数．

　　方法二：由（1）可知，因为，

　　所以．

　　由可得，即.

　　两边开平方得．

　　即为正整数．

点评：

　　数列是每年高考的必考内容．已知数列的递推公式或已知数列前n项和与的关系求数列通项也是常考内容．若已知数列的递推公式为（）的形式，求数列的通项时常通过变形使之转化为形式的等比数列来解决；若已知数列前n项和与的关系式求数列通项，则常用将与的关系式化归转化为与（或与）间的递推关系再进一步求解．

例8．（2007年全国卷II理）已知函数．

　　（1）求曲线在点处的切线方程；

　　（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

分析：

　　（1）通过求导得出切线的斜率，从而由点斜式较易写出切线方程；（2）由（1）易得过点的曲线的切线方程，曲线有三条切线可转化为方程有三个相异的实数根，即函数有三个零点，故只需的极大值大于零且的极小值小于零．

解：

　　（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．

　　（2）如果有一条切线过点，则存在，使．

　　若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．

　　当变化时，变化情况如下表：

		0
	＋	0	－	0	＋
	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

　　由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

　　当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

　　当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

　　综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．

点评：

　　将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出现的一种类型．

例9．已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．

　　（1）求证：；

　　（2）设，是函数的两个极值点．

　　①若，求函数的解析式；

　　②求的取值范围．

解：

　　（1）三个函数的最小值依次为1，，，由，得．

　　∴

　　，

　　故方程的两根是，．

　　故，．

　　，即．

　　∴．

　　（2）①依题意是方程的根，故有，，且△，得．

　　由．

　　；得，．

　　由（1）知，故，

　　∴，．

　　∴．

　　②

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　（或）．

　　由（1）知．

　　∵，∴，

　　又，∴，，（或）．

　　∴．

例10．（2007年福建理）已知函数．

　　（1）若，试确定函数的单调区间；

　　（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

　　（3）设函数，求证：．

分析：

　　（1）求出的导函数，易得的单调区间；

　　（2）易知是偶函数，于是对任意成立可等价转化为对任意成立，进一步转化为在上的最小值大于零，从而求出实数的取值范围．

解：

　　（1）由得，所以．

　　由得，故的单调递增区间是，

　　由得，故的单调递减区间是．

　　（2）由可知是偶函数．

　　于是对任意成立等价于对任意成立．

　　由得．

　　①当时，．

　　此时在上单调递增．

　　故，符合题意．

　　②当时，．

　　当变化时的变化情况如下表：

x
	－	0	＋
	单调递减	极小值	单调递增

　　由此可得，在上，．

　　依题意，，又．

　　综合①，②得，实数的取值范围是．

　　（3），

　　，

　　，

　　

　　由此得，

　　．

　　故.

点评：

　　利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（2）的关键．高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在R上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间上问题来讨论．

例11．已知、是方程（）的两个不相等实根，函数的定义域为．

　　（1）求；

　　（2）证明：对于（），若，则有．

解：

　　（1）设，则因为、是方程（）的两个不相等实根，所以，即，

　　从而有，

　　所以函数在区间上是增函数，由此及，得

　　

　　

　　

　　；

　　（2）证明：

　　

　　当且仅当，即（）时取得等号，从而

　　

　　，

　　而，

　　当且仅当时取得等号，故有

　　

　　．

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