一、选择题
1、表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
2、平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一个圆
C．一个椭圆 D．双曲线的一支
3、已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于（ ）
A． B．
C． D．
4、关于直线 与平面 ，有以下四个命题：
①若 且 ，则 ；②若 且 ，则 ；
③若 且 ，则 ；④若 且 ，则 ；
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
5、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是（ ）
A． B．
C． D．
6、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
A．S1＜S2 B．S1＞S2
C．S1=S2 D．S1，S2的大小关系不能确定
7、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）
A． B．
C． D．
8、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
9、已知二面角 的大小为60°， 为异面直线，且 ，则 所成的角为（ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
10、如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（ ）
A． B．
C． D．
[提示]
二、填空题
11、已知 三点在球心为 ，半径为 的球面上， ，且 ，那么 两点的球面距离为______________，球心到平面 的距离为______________．
12、过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有______________条．
13、如图，已知正三棱柱 的底面边长为1，高为8，一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为______________．
14、水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是______________．
15、如图，正四面体 ABCD的棱长为 1，平面α过棱 AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是______________．
[答案]
三、解答题
16、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O．
（Ⅰ）证明 ⊥ ；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小．
[答案]
17、如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离.
[答案]
18、如图所示， 、 分别是 、 的直径， 与两圆所在的平面均垂直， . 是 的直径， ， ．
(I)求二面角 的大小；
(II)求直线 与 所成的角.
[答案]
19、如图，在棱长为1的正方体 中， 是侧棱 上的一点， ．
（Ⅰ）试确定 ，使直线 与平面 所成角的正切值为 ；
（Ⅱ）在线段 上是否存在一个定点 ，使得对任意的 ， 在平面 上的射影垂直于 ，并证明你的结论．
[答案]
20、如下图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为线段BB1、AB的中点，O是正方形B1BCC1的中心，过O作直线与直线AM交于点P，与直线CN交于点Q．
(1)求线段PQ的长度；
(2)将侧面ABB1A1无限延展开来得到平面ABB1A1，设平面ABB1A1内有一动点T，它到直线DD1的距离的平方减去它到P点的距离的平方，其差为1．请建立适当的直角坐标系，求出动点T所构成的曲线K的方程；
(3)在(2)的条件下，请说明以PB为直径的圆与曲线K是否有交点，如果有请求出此点的坐标；如果没有请说明理由．
[答案]
|
