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一、重难点分析
功和能是物理学中的重要概念，能的转化和守恒定律是自然界最重要、最普遍、最基本的客观规律．功和能的转化关系不仅为解决力学问题开劈了一条新的重要途径，同时也是分析解决电磁学、热学等领域中问题的重要依据，因此要深入领会本章的规律．熟练地应用能量的观点解决物理问题．
1．功和功率
（1）功
功的表达式为W=Fscosα
式中F为作用在物体上的力，s是物体的位移，α是力F和位移s的夹角．
①功是力的作用在空间的累积．
②功与参照系的选取有关，通常情况下取地球为参照系．
（2）功率
①功率是用来表示做功快慢，亦即能量转化快慢的物理量，其定义式为 ．
 一般表示平均功率，当t很短时，也可表示瞬时功率．
②功率的另一表达式P=Fvcosα，其中α为F与v之间的夹角．当v为平均速度时，即为平均功率，当v为瞬时速度时，即为瞬时功率．
（3）因功的定义为W=Fs，因此在以s为横坐标，F为纵坐标的坐标系中，图线与横坐标围成的面积在数值上表示相应位移上的功，称为示功图．这对求变力的功特别有用．
（4）机车运动有两种特殊运动情况：
①机车以恒定功率运动．
②机车以恒定加速度运动．
这两类问题都要注意灵活运用牛顿第二定律和P=Fv的表达式．
2．动能定理
（1）动能
运动的物体能够对外做功，因此运动的物体具有能量，称为动能，记为
①动能是标量，描述物体的状态；
②动能具有瞬时性；
③动能具有相对性．
（2）动能定理
动能定理表述为：合外力对物体的功等于物体动能的改变或作用在物体上所有力做功的代数和等于物体动能的改变，对质量为m的物体，动能定能的数学表述为 ．
动能定理说明做功是改变物体动能的一种途径，动能定理是一个标量方程，使用动能定理时，一般以地面为参照系．
3．机械能守恒定律
（1）重力做功的特点
重力的功只决定于初、末位置间的高度差，与物体的运动路径无关，WG=mgh．
（2）重力势能
①定义：地球上的物体具有跟它的高度有关的能量，叫做重力势能Ep=mgh．
注意：a．重力势能是地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的．
b．重力势能的大小和零势能面的选取有关．
②重力的功与重力势能改变的关系，WG=－ΔEp．
（3）弹性势能
物体由于发生弹性形变而具有的能称为弹性势能．
（4）机械能守恒定律
①内容：在只有重力（或弹簧弹力）做功的情况下，物体的动能和重力势能（或弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律。
②数学表达式：
a.机械能总量保持不变。即：E1=E2．
即 ．
b.动能的变化量等于势能的变化量。即：ΔEk=－ΔEP．
c.机械能的变化量为零。即：ΔE=0．
③成立条件：
a.对某一物体，若只受重力作用，则物体与地球组成的系统的机械能守恒。如图（1）所示。
b.对某一物体，除受重力外，还受其它力作用，但只有重力做功，其它力不做功，此时物体与地球组成的系统机械能守恒。如图（2）所示。
图（2）
c.若某一物体，受几个力作用时，只有弹簧弹力做功，其它力不做功，此时物体与弹簧组成的系统机械能守恒。如图（3）所示．
 
图（3） 图（4）
d.若某一物体，受几个力作用，若只有重力和弹簧弹力做功，其他力不做功，此时物体和地球组成的系统机械能守恒。如图（4）所示。
④应用
a.机械能守恒定律的研究对象
机械能守恒定律的研究对象可以是单个物体，也可以是几个物体组成的系统。
理论上要求研究对象中总应该把地球包括在内，因为重力势能是物体和地球共有的，但在实际讨论问题中，只需明确除了地球以外的物体或系统就可以了。
若研究的问题涉及到弹性势能，则研究对象必须是物体和弹簧组成的系统。
b.用机械能守恒定律解题的一般步骤：
确定研究对象；
对研究对象进行受力分析；
分析研究对象的运动过程；
分析内外力做功情况，判断是否符合机械守恒的条件；
恰当选择零势能面，确定研究对象在始、末状态的机械能；
根据机械能守恒定律列出方程：E2=E1；
把已知量统一单位，代入方程求解；
检验结果是否符合题意。
二、典型例题
例1、弹簧原长l0=15cm．受拉力作用后弹簧逐渐拉长，当弹簧伸长到l1=20cm时．作用在弹簧上的力为400N，问拉力对弹簧做了多少功？
解析：
因弹簧的弹力与其形变量成正比，则
F=kΔx，当Δx=5cm时，F=400N．
所以 ．
由于弹簧的弹力f=kx是变力，利用示功图（如图）得拉力对弹簧的功为
 ．
例2、一辆汽车的质量是105kg，该车从静止开始以恒定的功率在平直公路上行驶，经过40s，前进400m，速度达到最大值，如果车受的阻力始终是车重的0.05倍，问车的最大速度是多少？
解析：
汽车在运动过程中，功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到阻力相等时速度达到最大值，由于牵引力是变力，因此不能用牛顿第二定律求解，我们用动能定理求解．
作用在汽车水平方向的力有牵引力和阻力．根据动能定理有
 ①
因阻力恒定，所以Wf=fs ②
而牵引力的功WF=Pt，又 ，所以WF=Pt=fvmt ③
②和③代入①中
即 ④
将k=0.05，g=10m/s2，t=40s，s=4000代入上式并整理得 ．
解得vm=20m/s．
评点：
对于机车一类功率恒定，变力做功的问题可以利用W=Pt求机械的变力的功．此题用牛顿第二定律是不能求解的，由此可见，动能定理比牛顿第二定律适用范围更广．
例3、如图所示，轨道的对称轴是过O、E点的竖直线，轨道BEC是120°的光滑圆弧，半径R=2.0m，O为圆心，AB、CD两斜面与圆弧分别相切于B点和C点．一物体从高h=3.0m处以速率v0=4.0m／s沿斜面运动，物体与两斜面的动摩擦因数μ=0.2，求物体在AB、CD两斜面上（不包含圆弧部分）通过的总路程s．
解析：
审题后马上想到，物体不在斜面上运动的条件是什么？这只有两种可能：一是物体停止在斜面上；二是物体最后总在圆弧上运动．显然，由mgsin60°>mgcos60°可知，物体不可能停在斜面上．同时还知道，若物体通过斜面后在B点或C点的速度为零，则物体只会在光滑圆弧上往复运动，而不会再在斜面上运动．因此，物体不再通过斜面的条件是到达B点或C点的速度为零．
由于物体在两斜面上下滑或上滑时均做匀变速运动，所以既可用牛顿运动定律和运动学公式找出物体在往复运动中通过的路程的规律求解．也可以用动能定理找出物体在往复运动中通过的路程的规律求解由于往复次数很多，会给求和带来不便．所以应用动能定理求解．用动能定理解题有一大优点，即可就整个过程进行分析．在整个过程中，重力做功与路径无关，摩擦力一直做负功，且大小不变．故摩擦力做的负功在数值上等于摩擦力的大小乘以物体在两斜面上通过的路程．
设物体在两斜面上通过的总路程为s．整个过程中，重力做正功
摩擦力做负功 ．
由动能定理得
所以 ．
评点：
本题是一个多次往复运动的问题．基本方法是寻找待求量在不断往复的运动过程中所遵循的规律．本题涉及力对空间的积累，在用动能定理求解时，可从整个过程去考虑．这样，往往可省去中间过程的繁琐运算及分析，综合求解问题带来方便．
例4、如图所示，A、B两物体的质量分别为mA=2m，mB=m，用长为l的不可伸长的细线连接后放在水平桌面上，在水平恒力F作用下以速度v做匀速直线运动．某一瞬间线突然断裂，保持F不变，继续拉A移动一段距离s0后撤去F，问当A、B都停止运动时相距多远？（设A、B物体与地面的摩擦因数相同）
解析：
初始时，A、B一起在水平恒力F作用下匀速运动，说明系统所受合外力为零．线断裂后，物体A在水平恒力F及摩擦阻力作用下做匀加速运动，水平恒力F及摩擦阻力fA对它所做的总功等于它的动能增量，撇去F后，物体A克服摩擦阻力做功，最终停止．线断裂后，物体B克服摩擦阻力fB做功，最终停止．画出整个运动过程中，A、B两物体的运动示意图，如图．
两物体与地面的摩擦因数为μ，对A物体的运动全过程应用动能定理
 ．
对B物体应用动能定理
如图所示可得几何关系Δs=sA＋s0＋l－sB
又F=μ(mA＋mB)g
联立以上各式解得Δs=l＋1.5s0．
评点：
（1）本题是求解相关联的两物体的位置关系，即寻求二者在运动过程中的位移关系．尽管二者都做阶段性的匀变速运动，用牛顿第二定律和运动学公式可以求解，但在不涉及求运动时间和加速度时，用动能定理求解显得更简捷．
（2）对于物理过程较复杂的问题，分析时要善于画出其过程示意图，这便于建立较清晰的物理图景．有助于找出物理量间正确的关系以及解决的方法．
（3）在物理问题中研究整体与外界的关系时，用整体法较简单，但这对我们的分析能力要求较高，同时对于整体法和隔离法在处理各种具体问题时，要具体分析用哪种方法简捷就选用哪种方法，不可一概而论．往往两种方法交替使用才能较好的解决问题．
例5、如下图所示，一辆质量是m=2kg的平板车左端放有质量M=3kg的小滑块，滑块与平板车之间的动摩擦因数μ=0.4，开始时平板车和滑块共同以v0=2m/s的速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反．平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端．（取g=10m/s2）求：
（1）平板车第一次与墙壁碰撞后向左运动的最大距离．
（2）平板车第二次与墙壁碰撞前瞬间的速度v．
（3）为使滑块始终不会滑到平板车右端，平板车至少多长?
解析：
（1）设第一次碰墙壁后，平板车向左移动s，速度为0．由于体系总动量向右，平板车速度为零时，滑块还在向右滑行．
由动能定理 ①
 ②
代入数据得 ③
（2）假如平板车在第二次碰撞前还未和滑块相对静止，那么其速度的大小肯定还是2m/s，滑块的速度则大于2m/s，方向均向右．这样就违反动量守恒．所以平板车在第二次碰撞前肯定已和滑块具有共同速度v．此即平板车碰墙前瞬间的速度
Mv0－mv0=(M＋m)v ④
∴ ⑤
代入数据得 ⑥
（3）平板车与墙壁第一次碰撞后到滑块与平板又达到共同速度v前的过程，可用图（a）（b）（c）．表示（a）为平板车与墙壁撞后瞬间滑块与平板车的位置，图（b）为平板车到达最左端时两者的位置，图（c）为平板车与滑块再次达到共同速度时两者的位置．在此过程中滑块动能减少等于摩擦力对滑块所做功μMgs′，平板车动能减少等于摩擦力对平板车所做功μMgs′（平板车从B 到A再回到B的过程中摩擦力做功为零）．其中s′、s″分别为滑块和平板车的位移．滑块和平板车动能总减少为μMgl1，其中l1=s′+s″为滑块相对平板车的位移此后，平板车与墙壁发生多次碰撞，每次情况与此类似，最后停在墙边设滑块相对平板车总位移为l，则有 ⑦
 ⑧
代入数据得 ⑨
l即为平板车的最短长度．
例6．（’04广东，17）图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行．当A滑过距离l1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连．已知最后A恰好返回到出发点P并停止．滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为l2，重力加速度为g．求A从P点出发时的初速度v0．
解析：
令A、B质量均为m，A刚接触B时的速度为v （碰前）．
A克服阻力做功： ①
A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B的共同速度为v2，有mv1=2mv2 ②
碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v3，在这一过程中，弹簧的弹性势能始末状态都是零，只有克服摩擦力做功 ③
此后A、B开始分离，A单独向右滑动到P点停下，克服阻力做功 ④
由以上各式得 ⑤
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