对数的发现过程
16世纪的欧洲随着资本主义的迅速发展，科学和技术也一改中世纪停滞不前的局面．天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。有一个集中暴露出来令人头痛的问题是：在星体的轨道计算，船只的位置确定，大地的形貌测绘，船舶的结构设计等一系列课题中，人们所遇的数据越来越宠杂，所需的计算越来越繁难！无数的乘除、乘方、开方和其他运算，耗费了科学家们大量的极为宝贵的时间和精力。
面对这种局面，数学家们终于出来急其所难，各种门类的表格：平方表、立方表、平方根表、圆面积表等等，便应运而生，人类就这么在表格的海洋中茫然地行驶了半个多世纪，直到16世纪40年代，才迎来了希望的曙光。
公元1544年，著名的哥尼斯堡大学教授，德国数学家斯蒂费尔（stiefel，1487-1567），在简化大数计算方面迈出了重要的一步。在《普通算术》一书中，斯蒂费尔宣布自己发现了一种有关整数的奇妙性质，他认为：“为此，人们甚至可以写出整本整本的书……”
那么，斯蒂费尔究竟发现了什么呢？原来他如同下表比较了两种数列：等比数列和等差数列。
斯蒂费尔把等比数列的各数称为“原数”，而把等差数列的对应数称为“代表者”（即后来的“指数”）。他惊奇地发现：等比数列中的两数相乘，其乘积的“代表者”，刚好等于等差数列中相应两个“代表者”之和；而等比数列中的两数相除，其商的“代表者”，也恰等于等差数列中两个“代表者”之差。斯蒂费得出的结论是：可以通过如同上面那样的比较，把乘除运算化为加减运算！
可以说斯蒂费尔已经走到了一个重大发现的边缘。因为他所说的“代表者”y，实际上就是现在以2为底x的对数
y=log2x
而使斯蒂费尔惊喜万分的整数性质就是：
log2（M·N）=log2M＋log2N
历史常常惊人地重复着这样的人和事：当发现已经降临到眼皮底下，只缘一念之差，却被轻轻错过！斯蒂费尔大约就是其中令人惋惜的一个。他困惑于自己的表格为什么可以算出16×256=4096，却算不出更简单的16×250=4000。他终于没能看出在离散中隐含着的连续，而是感叹于自己研究问题的“狭窄”。从而在伟大的发现面前，把脚缩了回去！
正当斯蒂费尔感慨于自己智穷力竭之际，在苏格兰的爱丁堡诞生了一位杰出人物，此人就是对数的发明人纳白尔（Napier，1550-1617）。
纳白尔出身于贵族家庭，天资聪慧，才思敏捷，从小又受家庭的良好熏陶，十三岁便进入了圣安德鲁斯大学的一个学院学习。十六岁出国留学，学识因之大进。公元1571年，纳白尔抱志回国。先是从事于天文、机械和数学的研究，并深为复杂的计算所苦恼。公元1590年，纳白尔改弦更张，潜心于简化计算的工作。他匠心独运，终于在斯蒂费尔的足迹上，向前迈出了具有划时代意义的一步！
说来也简单！纳白尔只不过是让任何数都找到了与它对应的“代表者”。这相当于在斯蒂费尔离散的表中，密密麻麻地插进了许多的中间值，使人看去宛如无数的纬线穿行于经线之中，显示出布匹般的连续！
公元1594年，纳白尔开始精心编制可供实用的对数表。在经历了7300个日日夜夜之后，一本厚达200页的八位数表终于诞生了！公元1614年，纳白尔发表了《关于奇妙的对数法则的说明》一书，书中论述了对数的性质，给出了有关对数表的使用规则和实例。纳白尔终于用自己20年的计算，换来了人世间无数寿命的延续！法国大数学家拉普拉斯说得好：“如果一个人的生命是拿他的一生中的工作多少来衡量，那么对数的发明，等于延长了人类的寿命！”
不幸的是，纳白尔的工作虽然延长了他人的寿命，却没能使自己的生命得以延长。就在纳白尔著作发表后的第三个年头，公元1617年，这位永受后人缅怀的杰出数学家，终因劳累过度，不幸谢世。
纳白尔的对数发明颇具传奇性。当时的欧洲，代数学仍处于十分落后的状态，甚至连指数概念尚未建立。在这种情况下先提出对数概念，不能不说是一种奇迹！纳白尔的对数是从一个物理上的有趣例子引入的：两个质点A、B有相同的初速度v。质点A在线段OR上作变速运动，其速度与它到R的距离成正比；质点B作匀速直线运动。今设AR=X，O′B=y，试求X，y之间的关系？
纳白尔经过仔细分析后发现；质点A的瞬时末速度是一个无穷递缩等比数列
从而量x在变化时也可以看成是一个无穷递缩等比数列；而Y在变化时显然可以看成是一个无穷递增的等差数列
0， v，2v，3v，4v，…，tv，…
这样一来，在变量y与变量x之间例建立起了函数关系。纳白尔把y称为x的对数，用现在的式子来写就是：
这里符号“ln”表示“自然对数”，对数的底就是常数e。这与今天课本上讲的“常用对数”有所不同，后者是以10为底的。
在数学上，对数函数的一般表示式为
y=logax
改写成指数形式便有
x=ay
在上式中，如果把变量x看成变量y的函数，并改用常用的函数和自变量符号，则有
y=ax
这样得到的函数，我们称为原函数的反函数。两个互为反函数的图象，在同一坐标系里，关于第Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线为轴对称。反函数图象的这一特性，在上图中可以看得很明显。
对数是十七世纪人类最重大的发现之一。在数学史上，纳白尔的对数、笛卡儿的解析几何及牛顿莱布尼兹的微积分三者齐名，被誉为“历史上最重要的数学方法”！
对数于1653年传入我国。公元1664年，我国学者薛风祚（？-1680）编译了《天学会通》丛书。在国内，这是第一部介绍对数和对数表的著作。
