19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情．一位名叫康托尔（G.Cantor，
1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论．它的内容是如此与常识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波．
集合论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界．康托尔是凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界的．他发现了许多简直难以置信的事情．康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的．自从17世纪牛顿（I.Newton，1642－1727）和莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础．它的一些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处．从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等人进行了微积分理论严格化的工作．他们建立了极限理论，并把极限理论的基础归结为实数理论．那么，实数理论的基础又该是什么呢？康托尔试图用集合论来作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础．出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量关系．他发现，无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质．比如，在无穷集合领域，所有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有理数和所有整数之间是一一对应的，平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的，……概言之，在无穷的世界里，整体的所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的．另外，无穷集合并不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的．因而，无穷集合是有大小的．集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别．那么，有没有一个最大的集合呢？康托尔通过研究，否定了这个想法．因为每个已知集合的所有子集所构成集合，其基数都大于已知集合的基数．既然没有最大的基数，当然也没有最大的集合．无穷世界里的这些性质，初看起来，真是令人头晕目眩．甚至康托尔本人在创立集合论的过程上，也时时感到心神不定．他在获得线性连续统和π维连续统之间有一一对应关系的结果后，写信给数学家戴德金（R.Dedekind，1831－1916）说：“我见到了，但我不相信”．然而，集合论的成果毕竟是有严格逻辑根据的．并且它在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了别的理论无法取代的重要作用．实践使康托尔坚定了信心，更加勇敢地前进，大胆挖掘无穷世界里的宝藏．他在提出超限基数和超限序数的过程中说：“我确实不知道，什么能够限制我们这种形成新数的活动，只要可以说明，为了科学的发展，引入一个这种无穷的新数对于研究是需要的或者是不可少的”．集合论是现代数学中重要的基础理论．它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌．几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解．所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响．
康托尔一生受过磨难．他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年．康托尔虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论．康托尔能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的．康托尔的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响．他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托尔在福音派新教的影响下成长起来．是一位精明的商人，明智且有天份．他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心．正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功．
今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一．
