例1、已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点．若0，则O是△ABC的（　）

　A．重心　　　　　　B．垂心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　　D．外心

解析：

　　设，则四边形OADB为平行四边形，OD、AB为平行四边形ABCD的两对角线．

　　∴ OD平分AB．

　　又∵0．∴．

　　故CO所在直线平分AB．

　　同理AO所在直线平分BC．

　　∴ O为重心，选A．

例2、如图，已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BE、CA上的点，并且满足．O是△ABC所在平面上的任一点，试证明．

解析：

　　设点Q1是△ABC的重心，点Q2是△DEF的重心，则应有

　　．

　　于是要证的等式可转化为证，即△ABC与△DEF有相同的重心．

　　设点Q是△ABC的重心，则有．

　　

　　设，

　　则AD＝λAB，BE＝λBC，CF＝λCA，

　　．

　　

　　∴点Q也是△DEF的重心．这样就有：

　　．

　　∴．

-END-