分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点
⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；
⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；
⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；
⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关．
2. 分类讨论的思想的本质
分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．
3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤
⑴确定讨论对象和确定研究的区域；
⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
⑷归纳总结，整合得出结论．
4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．
5. 分类讨论思想的类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的．
例1、（2007·上海）直角坐标系
中，
分别是与
轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若
，则k的可能值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：
由
（2，1），
（3，k），得
（1，k－1），
由于
为直角三角形，则
，
，
都可能为直角，
由向量数量积为0，分别有
或
或
，
解得
或
．
答案：B
点评：
本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的．
例2、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
连续掷三次骰子出现点数的方法总数为
种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或－1的等差数列有
个，公差为2或－2的等差数列有
个，所以满足条件中的概率为
．
答案：B
点评：
本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数．
例3、（2007·陕西）已知椭圆
的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，求
面积的最大值．
分析：
圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系．
解：
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
，∴所求椭圆方程为
．
（2）设
，
．
①当
轴时，
．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
．
由已知
，得
．
把
代入椭圆方程，整理得
，
，
．
．
当且仅当
，即
时等号成立．当
时，
，综上所述
．
∴当|AB|最大时，
面积取最大值
．
点评：
本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系．对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因．
例4、（2007·海南、宁夏）设函数
．
（1）若当x=－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于
．
分析：
函数的极值、单调性是函数的重要性质．极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题．
解：
（1）
，依题意有
，故
．
从而
．
的定义域为
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
从而，
分别在区间
单调递增，在区间
单调递减．
（2）
的定义域为
，
．
方程
的判别式
．
（i）若
，即
，在
的定义域内
，故
无极值．
（ⅱ）若
，则
或
．
若
，
，
．
当
时，
，
当
时，
，所以
无极值．
若
，
，
，
也无极值．
（ⅲ）若
，即
或
，则
有两个不同的实根
，
．
当
时，
，从而
在
的定义域内没有零点，故
无极值．
当
时，
，
，
在
的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知
在
取得极值．
综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为
．
f(x)的极值之和为：
．
点评：
本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.
求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号．
一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程
在
的定义域内有解；二是在方程
的根的两边导数
的符号要相反．因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论．
例5、设函数
的图象是曲线
，曲线
与
关于直线
对称．将曲线
向右平移1个单位得到曲线
，已知曲线
是函数
的图象．
（1）求函数
的解析式；
（2）设
求数列
的前
项和
，并求最小的正实数
，使
对任意
都成立．
解：
（1）由题意知，曲线
向左平移1个单位得到曲线
，∴曲线
是函数
的图象．
曲线
与曲线
关于直线
对称，∴曲线
是函数
的反函数的图象．
的反函数为
．
．
（2）由题设：
，
．
．①
．②
由②—①得，
．
当
．
．
当
时，
．
∴当
时，对一切
，
恒成立．
当
时，
．
记
，则当
大于比
大的正整数时，
．
也就证明当
时，存在正整数
，使得
.
也就是说当
时，
不可能对一切
都成立.
∴t的最小值为2.
例6、（2007·天津）在数列
中，
，其中λ＞0．求数列
的前
项和
．
分析：
数列的通项公式和前
项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法．
解：
由
，
，可得
，
所以
为等差数列，其公差为1，首项为0，
故
，所以数列
的通项公式为
．
设
， ①
②
当
时，①式减去②式，
得
，
．
这时数列
的前
项和
．
当
时，
．这时数列
的前
项和
．
点评：
本题考查数列的通项公式和前
项和．对于等比数列的前
项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论．
例7、已知函数f（x）=ax＋lnx，其中a为实常数，设e为自然对数的底数.
（1）若f（x）在区间（0，e
上的最大值为－3，求a的值；
（2）当a=－1时，试推断方程| f（x）|=
是否有实数解.
解：
（1）∵
=a＋
，x∈(0，e)，
∈［
，＋∞
．
①若a≤－
，则
≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.
∴f(x)max =f(e)=ae＋1≥0.不合题意.
②若a<－
，则由
>0
a＋
>0，即0<x<－
由f(x)<0
a＋
<0，即－
<x≤e.
∴f(x)max=f(－
)=－1＋ln(－
).
令－1＋ln(－
)=－3，则ln(－
)=－2.∴－
=e－2，
即a=－e2. ∵－e2<－
，∴a=－e2为所求.
（2）当a=－1时，f(x)=－x＋lnx，
=－1＋
=
.
当0<x<1时，
>0；当x>1时，
<0.
∴f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，＋∞）上减函数.
从而f(x)max=f(1)=－1.∴f(x)=－x＋lnx≤－1，从而lnx≤x－1.
令g(x)=|f(x)|－
=
=x－lnx－
－
=x－(1＋
)lnx－
①当0<x<2时，有g(x)≥x－(1＋
)(x－1)－
=
－
>0.
②当x≥2时，g′(x)=1－［(－
)lnx＋(1＋
)·
］=
=
.
∴g(x)在[2，＋∞
上增函数，∴g(x)≥g(2)=
综合①、②知，当x>0时，g(x)>0，即|f(x)|>
.
故原方程没有实解.
例8、已知
函数
（1）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（2）求函数y＝f (x)在区间[1，2]上的最小值.
解：（1）由题意，
．
当
时，由
，解得
或
；
当
时，由
，解得
．
综上，所求解集为
．
(2)设此最小值为m．
①当
时，在区间[1，2]上，
，
因为
，
，
则
是区间[1，2]上的增函数，所以
．
②当
时，在区间[1，2]上，
，由
知
．
③当
时，在区间[1，2]上，
．
．
若
，在区间（1，2）上，
，则
是区间[1，2]上的增函数，所以
．
若
，则
．
当
时，
，则
是区间[1，
]上的增函数，
当
时，
，则
是区间[
，2]上的减函数，
因此当
时，
或
．
当
时，
，故
，
当
时，
，故
．
综上所述，所求函数的最小值
例9、设函数f(x)=x2＋｜x－a｜＋1，x∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小值．
解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2＋｜－x｜＋1=f(x)，
此时f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(a)=a2＋1，f(－a)=a2＋2｜a｜＋1.
f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)．
此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2－x＋a＋1=(x－
)2＋a＋
．
若a≤
，则函数f(x)在(－∞，a］上单调递减．
从而函数f(x)在（－∞，a
上的最小值为f(a)=a2＋1．
若a＞
，则函数f(x)在（－∞，a
上的最小值为f(
)=
＋a，且f(
)≤f(a)．
②当x≥a时，函数f(x)=x2＋x－a＋1=(x＋
)2－a＋
．
若a≤－
，则函数f(x)在［a，＋∞］上的最小值为f(－
)=
－a，且f(－
)≤f(a)；
若a＞－
，则函数f(x)在［a，＋∞)单调递增．
从而函数f(x)在［a，＋∞］上的最小值为f(a)=a2＋1.
综上，当a≤－
时，函数f(x)的最小值为
－a；
当－
＜a≤
时，函数f(x)的最小值是a2＋1；
当a＞
时，函数f(x)的最小值是a＋
．
