一、复习策略

　　数学的创新题是相对于传统命题方式而言的，这类题目没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决，其难度大，要求高，是训练和考查学生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提练数学思想方法，充分展示应用数学思维方法的良好载体，所以在高考中所占的比重会越来越大。

　　在高考中的创新题型一般分为三类：第一类是定义信息型创新题；第二类是情景创新题，第三类是类比型创新题，第四类是跨学科型创新题。

二、典例剖析

题型一：定义信息型创新

　　定义信息型创新题是近几年出现的新题型，因此此类型的背景新颖、构思巧妙，且又能有效地区别学生的思维品质和学习潜力，所以备受师生的青睐，解答这类问题通常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定归纳的方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；（3）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。

例1．（06年广东卷）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则（　）

A．　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　D．

思路分析：按定义求出p，q的值．

解：

　　由得，

　　所以，故选B．

例2.(06年上海)如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：

　　①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；

　　②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；

　　③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．

　　上述命题中，正确命题的个数是（　）

　　A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　　D.3

思路分析：

　　（p，q）的个数就是到直线l1的距离为p的直线与到直线l2的距离为q的直线的交点的个数，作出满足条件的直线即可．

解：选（D）

　　①正确，此点为点O；②正确，注意到p，q为常数，由p，q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；③正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点．

点评：

　　概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题．解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的本质，在此基础上按定义处理问题．

例3．（07年福建卷）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．

如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意，都有；

（2）对称性：对于，若，则有；

（3）传递性：对于，若，，则有．

　　则称“~”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．

解：

　　答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、 “非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.

例4．（06年福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x1－x2|＋|y1－y2|．给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖＋‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2＋‖CB‖2=‖AB‖2；

③在△ABC中，‖AC‖＋‖CB‖>‖AB‖．

其中真命题为___________.

解：

　　对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x1－x2|＋|y1－y2|，

　　①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则

　　=

　　③在中，

　　　>=

　　∴命题①③成立，而命题②在中，若则明显不成立．

　　则应填①③.

例5．（07北京）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

　　，．

　　其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．

　　（I）检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

　　（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；

　　（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

（I）解：集合不具有性质P．集合具有性质P，

　　　　　其相应的集合S和T是，．

（II）证明：

　　首先，由A中元素构成的有序数对共有个．

　　因为，所以；

　　又因为当时，时，，所以当时，

　　．

　　从而，集合T中元素的个数最多为，即．

（III）解：m=n，证明如下：

　　（1）对于，根据定义，，，且，从而．

　　如果与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，

　　从而与中也至少有一个不成立．

　　故与也是T的不同元素．

　　可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即，

　　（2）对于，根据定义，，，且，从而．

　　如果与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，

　　从而与中也不至少有一个不成立，

　　故与也是S的不同元素．

　　可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即，

　　由（1）（2）可知，．

例6．设、R，常数．定义运算“”：．

　　（1）若求动点轨迹C的方程；

　　（2）若，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T、S，并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q ，试求的取值范围；

　　（3）设是平面上的任一点，定义、

．若在（1）中轨迹C上存在不同的两点A1、A2，使得成立，求实数a的取值范围．

解答：

　　（1）设，

　　又由，可得动点轨迹C的方程为：．

　　（2）由题得，设直线，依题意，则．

　　都在直线l上，则．

　　由题，，∴.

　　由消去得，．

　　

　　

　　代入得，，

　　又知，，所以.

　　即的取值范围是．

　　（3）由，，

　　设，依题意则有，且，

　　又，即且，

　　故方程在有两个不等的实数解．

　　平方整理有，在有两个不等的实数解．

　　又，得．

　　故实数的取值范围是．

题型二：情境创新题

　　这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等．由于突出体现了“考思维能力与创新意识”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐．

例7．(06陕西卷)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（　）

A．4，6，1，7　　　　　　　　B．7，6，1，4

C．6，4，1，7　　　　　　　　D．1，6，4，7

思路分析：本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a，b，c，d的值．

解：当接收方收到密文14，9，23，28时，

　　则，解得，解密得到的明文为C．

例8．某娱乐中心有如下摸奖活动：拿8个白球和8个黑球放在一盒中，规定：凡摸奖者，每人每次交费1元，每次从盒中摸出5个球，中奖情况为：摸出5个白球中20元，摸出4个白球1个黑球中2元，摸出3个白球2个黑球中价值为0.5元的纪念品1件，其他无任何奖励．

（1）分别计算中奖20元、2元的概率；

（2）若有1560人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心收入多少钱？

思路分析：本题是等可能事件的概率问题，用等可能事件的概率公式求解．

解：

　　（1）由已知中奖20元的概率P1=；中奖2元的概率P2=；

　　中奖0.5元的概率P3=．

　　（2）由（1）知体彩中心收费为1560元，付出

　　1560××20＋1560××2＋1560××0.5=1080元，

　　收入=1560－1080=480元．

　　故知中奖20元、2元的概率分别为: 、;估计该中心收入480元．

点评：

　　概率问题是高考命题的主干知识，涉及到的问题情景是常考常新的，多数是与生活实际和生产实际相关联的．

例9．（06年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（　　）

A.　　　　　　　B.

C.　　　　　　　D.

解：

　　依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，∴x1<x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10，

　　∴x1<x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5，∴x3<x2，故选C.

例10．这是一个计算机程序的操作说明：

（1）初始值为；

（2）（将当前的值赋予新的）；

（3）（将当前的值赋予新的）；

（4）（将当前的值赋予新的）；

（5）（将当前的值赋予新的）；

（6）如果，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；

（7）打印；

（8）程序终止．

由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________ ．

请写出计算过程：

点拨与提示：

　　我们不难看出，该问题是一个循环、迭代的过程．为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次：

	n	x	y	z	判断
初始值	0	1	1	0	z<7000，返回（2）
一轮操作	1	3	2	5	z<7000，返回（2）
二轮操作	2	5	4	25	z<7000，返回（2）
三轮操作	3	7	8	81	z<7000，返回（2）
……	……

　　就此操作下去，并不难得出答案，这也是本题的一种计算方法．

　　从另一个角度考虑，本题中我们比较难以理解的是这样的语句：“；；……”，虽然题目中已经给出很好的解释，但是，按照我们通常的认识，应该用不同的符号来分别表达新值与旧值，如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同，以及它们之间的联系呢？事实上注意到在整个计算的过程中，一方面，n的值似乎只起到一个计算第几轮的作用，另一方面，随着n的变化，的值随之变化．从这一个角度，不难想到，数列是一种较好的表示方法．

答案：

题型三：类比归纳型创新题

　　类比归纳题型可锻炼学生的创造性思维，培养学生的创新精神和创造力，又因为其思维含量高、知识覆盖面广，综合性强、难度大，而且命题形式丰富多彩，因而备受高考命题者的青睐。“由特殊到一般”是解决这类题型的思维主线，主要类型有：

　　（1）研究命题本身，对命题进行拓展，我们所熟悉的“观察——归纳——猜想——证明”是解决这类问题的常用方法，对命题拓展时要注意它们外在的形式特征，抓住规律性的东西。

　　（2）解决问题的方法，对命题进行论证，对于给出的一般性结论，我们可先研究其简单的情形，通过类比归纳，探索出解决问题的方法。

　　（3）穷举归纳，完善命题，可能的情形如果不是太多，即可通过全部列出的方法解决问题。

例11．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题__________，这个命题的真假性是______ .

解：

　　“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角的平面角相等或互补”.当两棱不平行不成立，所以，这个命题是错误的.

例12．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=________；f(n)=__________.（答案用n表示）.

解析：

　　f(3)=1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）=10，

　　.

例13．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值. 试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

解：

　　类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.

设点M的坐标为（m，n），

则点N的坐标为（－m，－n），

其中－=1

又设点P的坐标为（x，y），

由kPM=，kPN=，

得kPM·kPN=·=，

将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得kPM·kPN=.

点评：

　　本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力，它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.

例14．（2000上海）规定，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n的一种推广）.

　　（1）求的值；

　　（2）组合数的两个性质：

　　①.　　②.

　　是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.

　　（3）已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z.

（1）解：.

（2）解：性质①不能推广.例如当x=时，有定义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是，x∈R，m是正整数，事实上

　　当m=1时，有，

　　当m≥2时，

.

（3）证明：当x≥m时，组合数∈Z.

当0≤x＜m时，=0∈Z.

当x＜0时，∵－x＋m－1＞0，

∴

∈Z.

题型四：学科间综合创新问题

　　学科间综合创新题注重了数学的现实性与时代性，关注生活、关注热点，命题呈现题意新颖、题型创新的特点，跨学科的题目通常与物理、化学、生物等学科交叉。解决这一类题目的关键是从题目中构造数学模型，利用数学知识来解决。通常用到的数学知识有函数、数列、不等式、概率等。

例15．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（　）

A．人可在7米内追上汽车

B．人可在10米内追上汽车

C．人追不上汽车，其间距离最近为5米

D．人追不上汽车，其间距离最近为7米

思路分析：

　　本题是一道加速行程问题，需要运用物理现象建立数学模型，即汽车行程＋25=人的行程，建立二次函数关系式．

解：

　　若经t秒人刚好追上汽车，则S＋25=6 t ，由S= ，得

　　

　　考虑距离差　

　　故当t = 6时，d 有最小值7 ，即人与汽车最少相距7米，故选D．

点评：

　　本题属于跨学科综合题，要求将物理问题抽象成数学问题，利用数学工具，通过推理和计算解决物理问题，这类题型也是今后数学高考命题的趋势之一．

例16．给出下列一系列化合物的分子式: 则该系列化合物中，分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近（　）

　　　　A． 95%　　　　B． 96%　　　　C． 97%　　　　D．98%

点拨与提示：C与H的下标分别成等差数列，求出通式，利用极限的知识求解．

答案：B

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