一、复习策略

1、函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．

2、求几类重要函数的最值方法；

(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；

(2)：均值不等式法和单调性加以选择；

(3)多元函数：数形结合或转化为一元函数．

3、三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解．

4、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，二次函数的最值)．

5、不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即＞m；f(x)＜m恒成立，即＜m．

6、参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，解题的关键是不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．

二、典例剖析

问题1：函数的最值问题

例1、(07江苏卷)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，都有，则的最小值为（　）

　　　A．3　　　　　B．　　　　C．2　　　　　D．

解：

　　＝，依题意，有：，可得，

　　＝＝＋1≥2＋1≥2＋1＝2，故选(C)．

例2、如下图(1)所示，定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数A，都有≥A成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界. (提示：图(1)、(2)中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零)

　　　　

（1）　　　　　　　　　　　　　　　（2）

　　(Ⅰ)试判断函数在(0，＋)上是否有下界？并说明理由；

　　(Ⅱ)又如具有上右图(2)特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断(Ⅰ)中的函数在(－， 0)上是否有上界？并说明理由；

　　(Ⅲ)已知某质点的运动方程为，要使在上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=为下界的函数，求实数a的取值范围．

分析：

　　利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，从而可以确定函数的下界或上界；或用重要不等式求最值．

解：

　　(Ⅰ)解法1：∵，由得，

　　∵，∴x＝2，

　　∵当时，，∴函数在(0，2)上是减函数；

　　当时，，∴函数在(2，＋)上是增函数；

　　∴是函数在区间(0，＋)上的最小值点，．

　　∴对任意，都有，

　　即在区间(0，＋)上存在常数A=32，使得对任意都有成立，

　　∴函数在(0，＋)上有下界.

　　解法2：．

　　当且仅当即x＝2时“=”成立．

　　∴对任意，都有，

　　即在区间(0，＋)上存在常数A=32，使得对任意都有成立，

　　∴函数在(0，＋)上有下界．

　　(Ⅱ)类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：

　　定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界.

　　设则，由(Ⅰ)知，对任意，都有，

　　∴，∵函数为奇函数，∴．

　　∴，∴．

　　即存在常数B=－32，对任意，都有，

　　∴函数在(－，0)上有上界．

　　(Ⅲ)质点在上的每一时刻的瞬时速度．

　　依题意得对任意有．

　　对任意恒成立．

　　令，∵函数在[0，＋∞）上为减函数．

　　∴．

　　∴.

问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题

将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．

例3、(05年上海)点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，PA⊥PF．

　　(1)求点P的坐标；

　　(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

分析：

　　将d用点M的坐标表示出来，

　　，然后求其最小值．

解：

　　(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)．

　　设点P(x，y)，则={x＋6，y}，={x－4，y}，由已知可得

　　，则2x2＋9x－18=0，解得x=或x=－6．

　　由于＞0，只能=，于是=．∴点P的坐标是(，)．

　　(2) 直线AP的方程是x－y＋6=0．

　　设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是．

　　于是=，又－6≤m≤6，解得m=2．

　　椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有

　　，

　　由于－6≤x≤6，∴当=时，d取得最小值．

例4、(05年辽宁)如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．

　　(Ⅰ)将十字形的面积表示为的函数；

　　(Ⅱ)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

分析：

　　将十字型面积S用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．

　　(Ⅰ)解：设S为十字形的面积，则

　　(Ⅱ)解法一：

　　

　　其中当最大．

　　所以，当最大. S的最大值为

　　解法二：因为

　　所以令S′=0，

　　即可解得，

　　所以，当时，S最大，S的最大值为

例5、已知点A(－1，0)，B(1，－1)和抛物线，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图．

　　(I)若△POM的面积为，求向量与的夹角；

　　(II)试探求点O到直线PQ的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

分析：

　　可先设出M与P点的坐标，再利用斜率相等求出的值，利用向量的数量积求出夹角．第二问中可用重要不等式求出最值．

解：

　　(I)设点、M、A三点共线，

　　

　　

　　设∠POM=α，则

　　由此可得tanα=1.

　　又

　令，则.

　∴O到PQ的距离：，

　　

　　即当且仅当t=16时取最大值，且最大值为．

　　故存在最大值，且最大值为．

问题3：最值的实际应用

　　在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．

例6、(06年江苏卷)请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

分析：将帐蓬的体积用x表示(即建立目标函数)，然后求其最大值．

解：

　　设OO1为，则．

　　由题设可得正六棱锥底面边长为：，(单位：)

　　故底面正六边形的面积为：=，(单位：)

　　帐篷的体积为：

　　(单位：)

求导得．

令，解得(不合题意，舍去)，，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

∴当时，最大．

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为．

点评：

　　本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．

例7、(05年湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99，有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是．用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．

　　(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．

　　(2)若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

点拨与提示：

　　（1）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，

　　，．

　　于是＋，利用均值不等式求最值．

　　方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，解得x＝19，由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，解得y=4a，故z=4a＋3，即两种方案的用水量分别为19与4a＋3，因为当1≤a≤ 3时，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z．故方案乙的用水量较少．

　　(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似(I)得，(*)

　　于是＋．

　　当a为定值时，．

　　当且仅当时等号成立，此时(不合题意，舍去)或．

　　将代入(*)得，．

　　故时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量为．

　　当1≤a≤3时，，故T(a)是增函数(也可用二次函数的单调性来判断)，这说明随着a的值的增加，最少总用水量增加．

问题4：恒成立问题

　　不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即＞m；

　　f(x)＜m恒成立，即＜m．

例8、已知函数f(x)=．

　　(Ⅰ)当时，求的最大值;

　　(Ⅱ) 设，是图象上不同两点的连线的斜率，是否存在实数，使得恒成立?若存在，求的取值范围;若不存在，请说明理由．

分析：

　　利用导数求出函数的单调性，再比较其极大值与端点值的大小求出的最大值．

解：

　　(Ⅰ)当－2≤＜时，由=0得x1=

　　显然－1≤x1＜，＜x2≤2，

　　又=－．

　　当≤x≤x2时，≥0，单调递增；

　　当x2＜x≤2时，＜0，单调递减，

　　∴max=(x2)=

　　　　　　=－

　　(Ⅱ)答：存在符合条件．

　　解：因为=．

　　不妨设任意不同两点，其中．

　　则．

　　由知：1＋＜1．

　　又，故．

　　故存在符合条件．

　　解法二：据题意在图象上总可以找一点，使以P为切点的切线平行于图象上任意两点的连线，即存在．

　　故存在符合条件．

问题五：参数的取值范围问题

　　参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力．在历年高考中占有较稳定的比重．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．

例9、设直线过点P(0，3)且和椭圆顺次交于A、B两点，求的取值范围．

分析：

　　=．要求的取值范围，一是构造所求变量关于某个参数(自然的想到“直线AB的斜率k”)的函数关系式(或方程)，通过求函数的值域来达到目的．二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来．韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式．问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：．由此出发，可得到下面的两种解法．

解法1：

　　当直线垂直于x轴时，可求得；

　　当l与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得．

　　解之得

　　由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑的情形．

　　当时，，，

　　所以===．

　　由，解得，

　　所以，即．

解法2：

　　设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得

(*)

　　则，

　　令，则，

　　在(*)中，由判别式可得，从而有，

　　所以，解得．

　　结合得．

　　综上，．

点评：

　　范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法．

例10、在直角坐标平面中，过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为；如此下去，即过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为…．

　　(1)探索与，与的关系，说明你的理由，并求，的值；

　　(2)求数列通项公式；

　　(3)是否存在正实数，使得对于任意的自然数，不等式恒成立？若存在，求出这样的实数的取值范围；若不存在，则说明理由．

分析：

　　利用导数先找出切线方程，从而可以确定数列与，与的关系，再分奇数项与偶数项来求出数列的通项，在第三问中可用错位相消法求出不等式左端的和，再证明其单调性来求解．

解：

　　(1)∵，∴切线的方程为，

　　又切线过点，∴，且，∴∴．

　　又，∴切线的方程为，

　　而切线过点，∴，

　　且，∴∴．

　　(2)由(1) 可知，即，

　　∴数列为等比数列，且首项为4，

　　∴，即．

　　而，

　　故数列通项公式为

　　(3)令

　　∴，

　　两式相减得

　　∴．

　　∴，

　　∴数列递增．

　　又当时，

　　．

　　∴，而，

　　∴．

　　∴对于任意的正整数和任意的实数不等式恒成立等价于，

　　而，所以有，解得或 (舍)．

　　故存在这样的正实数，其取值范围为．

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