1、集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容，在过去的教材中散见于各章知识。而在新教材中将其整合到一起，单独列为一章，置于高中数学教材之首，足见其在数学中的基础地位，是进一步学习近现代数学的必要基础知识。其内容为集合的概念及其运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。本单元内容还初步体现了中学数学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。由于其在数学中的基础地位，在复习中不宜深入展开，只要灵活掌握知识点的小型综合即可。
2、函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：
(1)深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．
(2)系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．
(3)通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．
本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．
函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．
考点一：集合的概念与运算
例1、集合
，集合
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
集合
中的元素是
，它表示函数
的值域，从而
，集合
中的元素是
，它表示函数
的定义域，从而
．
易得
=
，因此，正确答案选C．
点评：
同学们在求解此题时，常常误认为是求两条曲线的交点，而导致解题产生差错．搞清楚集合中元素的特征，运用元素分析法，就可以有效地避免这样的解题错误．
例2、已知集合
．
(1)若
，求m的取值范围．
(2)若点
的坐标为
且
．集合
、
所表示的两个平面区域的边界交于点
、N，求△QMN的面积的最大值．
解析：
(1)如图(a)，当射线
与圆
相切时，由
，得m=－2或m=6(舍去)．当射线
与圆
相切时，由
．得m=6或m=－2(舍去)．故所求m的取值范围是(－2，6)．
(2)显然点Q在圆
的直径
上，如图(b)所示，由对称性和圆幂定理可得
．
设
，则
，于是
(当且仅当
时取等号，故ΔQMN的面积的最大值为4).
点评：
本题是一个综合性题目．考查到了数形结合，转化与化归的思想方法；在这里，集合是一种工具，解题中善于把集合语言向函数语言转化，进而得出解题的思路与方向．
考点二：简易逻辑与四种命题
例3、已知条件
和条件
，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为
构造命题：“若
则
”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
解析：
已知条件
：
，或
，
已知条件
：
，或
；
令
，则
即
，或
，此时必有
成立，反之不然．
故可以选取的一个实数是
，
设
，则对应的命题“若
则
”是一个真命题，
而其逆命题“若
则
”是一个假命题．
注意：所找到的实数
只需满足
，且
即可(请同学们思考这是为什么？)
点评：
由于本题答案不唯一，使得求解的方法没有固定模式，考生既能在一般性的指导中找出一个满足条件的a，也能先猜后证．
例4、已知函数
．
(1)若
能表示成一个奇函数
和一个偶函数
的和，求出
和
的解析式；
(2)若
，求
的值；
(3)命题
：函数
在区间
上是增函数．
命题
：函数
是减函数；如果命题
有且仅有一个是真命题，求a的取值范围．
解：
(1)
．
(2)
，
故
．
(3)
，
∴若
真，则
或
．
即
或
(且
)．
若
真，则
(且
)．
而命题
有且仅有一个是真命题，则
真
假时，
；
假
真时
．
故所求a的取值范围是
．
考点三：函数的性质
例5、定义在(－1，1)上的函数
满足：对任意
，都有：
，且当
时，
．
(1)求证：
是奇函数；
(2)判断
在(－1，1)上的单调性，并加以证明；
(3)设
，试求不等式
的解集．
解：
(1)证明：
．
又
，
．
故
是奇函数．
(2)设
且
，且
．
而
．
故
．故
在（－1，0]上递减．
又
是奇函数，
在[0，1)上也递减．
故
在(－1，1)上递减．
(3)解：
．
例6、设
是定义在[－1，1]上的偶函数，
与
的图象关于直线x=1对称，当
时，
为常数)．
(1)求
的表达式；
(2)当
时，求
在[0，1]上取最大值时，对应的
值；
(3)当
时，是否存在
，使
图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
解析：
(1)设
是
图象上任一点，则
是
图象上的一点，当
时，
，
．又
是偶函数，
时，
，
．
(2)当
时，
．
由
，得
(负值已舍)
，
当
时，
为增函数；
当
时，
为减函数．
∴当
时，
取最大值
．
(3)当
时，
，
在[0，1]上为增函数．又
为偶函数，∴当x=±1时，
取最大值
，
由题意知：
，
∴存在实数
，使
的最高点落在直线
上．
点评：
由函数性质求函数解析式的题目多以解答题的形式出现，是高考考查的重点，求函数最值的方法较多，解题时要注意灵活多变，有选择地使用较为简便的方法，使解题快捷准确，解答此题时，要注意以下几个问题：
(1)由函数的奇偶性及对称性，可较快求出函数表达式，应注意定义域的变化，准确求出定义域是解答以下各题的关键；
(2)求函数最值的方法很多，如：配方法、数形结合法、判别式法、求导法、换元法、分离参数法、单调性法、有界性法、反函数法、基本不等式法等，此题便是利用导数法求最值的典型．求导时，应注意求导法则的应用．
(3)分类讨论在解决此题中起了重要作用，分类时要注意：
①不重不漏；②标准要统一，层次要分明；③不要盲目分类，能不分类的可整体解决．
考点四：函数的图象
例7、设定义域为R的函数
．若关于
的方程
有3个不同的实数解
，则
（ ）
A．4 B．
C．9 D．
答案：C
解析：
如图，作出函数
的图象，可知关于
的方程有一正根和零根，不妨设
．
∴由图象的对称性可知
，又
，∴
．
例8、已知二次函数
的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数
的图象与直线
的两个交点间距离为8．
．
(1)求函数
的表达式；
(2)证明：当
时，关于x的方程
有三个实数解．
解析：
(1)由已知，易得
．
(2)证明：由
得
．即
．
在同一坐标系内作出
和
的大致图象，其中
的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
的图象是以
为顶点，开口向下的抛物线．因此，
有一个负数解．
又
．
当
时，
．
所以当
时，在第一象限
的图象上存在一点
在
图象的上方．
与
的图象在第一象限有两个交点，即
的两个正数解，因此，方程
有三个实数解．
点评：
本题运用了待定系数法、数形结合法、函数思想、构建思想等思想方法，综合考查了学生的数学素养．
考点五：抽象函数
例9、定义在R上的函数
，对任意实数
，都有
和
，且
，求
的值．
解析：
由于
为任意实数，
可以取一些特殊值，按照题目中的条件的变化规律，反反复复进行下去．由
这个“桥梁”，
得
，
共进行670次，将上述同向不等式相加可得
，即
．
由
得
共进行1005次，将上述同向不等式相加可得．
，即
．从而
．
点评：
如果函数不易具体化或简约化，但可以根据题设中“桥梁”，使自变量取一些特殊值，使数值特殊化，反复进行，从而达到目标．到底取何特殊值，要经过多种尝试、探索，充分发挥学生的直觉、探索、逆向思维等方面的能力，有利于培养学生从一般到特殊解决问题的能力．
例10、( 2006年重庆高考题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)=f(x)－x2＋x．
(1)若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0，求函数f(x)的解析表达式．
解：
(1)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)=f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)=f(2)－22＋2．又由f(2)=3，得f(3－22＋2)=3－22＋2，即f(1)=1．若f(0)=a，则f(a－02＋0)=a－02＋0，即f(a)=a．
(2)因为对任意
，有f(f(x)－x2＋x)=f(x)－x2＋x．又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)= x0。所以对任意
，有f(x)－x2＋x= x0。在上式中令x= x0，有f(x0)－x
＋x0=x0。又因为f(x0)= x0，所以x0－x
=0，故x0=0或x0=1．若x0=0，则f(x)－x2＋x=0，即f(x)= x2－x．但方程x2－x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0．若x0=1，则有f(x)－x2＋x=1，即f(x)= x2－x＋1．易验证该函数满足题设条件．综上，所求函数为f(x)= x2－x＋1(x
R)．
考点六：函数的应用
例11、沿海地区某农村在2007年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万，从2008年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2008年起的第x年(2008年为第一年)该村人均产值为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？
分析：
本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力。
(1)解：依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3180＋60x)万元，
而该村第x年的人口总数为(1480＋ax)人，
∴y=
(1≤x≤10).
(2)解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x≤10内，y=f(x)为增函数。设1≤x1＜x2≤10，则
f(x1)－f(x2)=
－
=
=
.
∵1≤x1＜x2≤10，a＞0，
∴由f(x1)＜f(x2)，得88800－3180a＞0.
∴a＜
≈27.9.又∵a∈N*，∴a=27.
解法二：∵y=
(
)=
［1＋
］，
依题意得53－
＜0，∴a＜
≈27.9. ∵a∈N*，∴a=27．
