极限的概念及其渗透的思想在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具．
1、有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积），在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限．
2、两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在．
3、对
型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值．
4、求函数的极限的几种基本的方法:
①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法
5、函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件：
函数f（x）在点x=x0处有定义;
函数f（x）在点x=x0处有极限;
函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值，即
f（x）=f（x0）．
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:
1、导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微)；
(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)；
(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于n次多项式的导数问题属于较难类型．
2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便．
3、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意．
4、求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；
(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．
也就是说，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导
，中间变量对自变量求导
；最后求
，并将中间变量代回为自变量的函数．整个过程可简记为分解——求导——回代．熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．
例1、
在
处可导，则
________，
________．
解：
函数
在
处可导，则必连续，
， 
，
，∴ 
．
，
，∴ 
，
．
例2、(08福建)已知函数
的导函数的图象如下图，那么
图象可能是( )
解：
从导函数的图象可知两个函数在
处斜率相同，可以排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出
的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC，最后就只有答案D了，可以验证y=g(x)的导函数是增函数，增加越来越快．
答案：D
例3、若数列{an}的首项为a1=1，且对任意n∈N*，an与an＋1恰为方程x2－bnx＋cn=0的两根，其中0＜|c|＜1，当
(b1＋b2＋…＋bn)≤3时，求c的取值范围．
解：
首先，由题意对任意n∈N*，an·an＋1=cn恒成立．
∴
=
=
=c．又a1·a2=a2=c．
∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…是首项为1，公比为c的等比数列，a2，a4，a6，…，a2n，…是首项为c，公比为c的等比数列．其次，由于对任意n∈N*，an＋an＋1=bn恒成立．
∴
=
=c．又b1=a1＋a2=1＋c，b2=a2＋a3=2c，
∴b1，b3，b5，…，b2n－1，…是首项为1＋c，公比为c的等比数列，b2，b4，b6，…，b2n，…是首项为2c，公比为c的等比数列，
∴
(b1＋b2＋b3＋…＋bn)
= 
(b1＋b3＋b5＋…)＋
(b2＋b4＋…)
=
＋
≤3．
解得c≤
或c＞1，∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤
或－1＜c＜0．
故c的取值范围是(－1，0)∪(0，
］．
例4、(2006浙江)已知函数
=x3＋x2，数列 {xn}(xn＞0)的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在
处的切线与经过(0，0)和(xn，f(xn))两点的直线平行(如图)．求证：当n
时：
(I)
；(II)
证明：(I)∵
∴曲线
在
处的切线斜率
∵过
和
两点的直线斜率是
∴
.
(II)∵函数
当
时单调递增，
而
，
∴
，即
因此
又∵
令
则
∵
∴
因此
故
例5、(07山东卷)设函数
，其中
．
证明：当
时，函数
没有极值点；当
时，函数
有且只有一个极值点，并求出极值．
证明：
因为
，所以
的定义域为
．
．
当
时，如果
在
上单调递增；
如果
在
上单调递减．
所以当
，函数
没有极值点．
当
时，
令
，得
(舍去)，
，
当
时，
随
的变化情况如下表：
从上表可看出，函数
有且只有一个极小值点，极小值为
．无极大值．
当
时，
随
的变化情况如下表：
从上表可看出，函数
有且只有一个极大值点，极大值为
．无极小值．
综上所述：当
时，函数
没有极值点；
当
时，
若
时，函数
有且只有一个极小值点，极小值为
，无极大值．
若
时，函数
有且只有一个极大值点，极大值为
，无极小值．
例6、(2006湖北) 设x=3是函数f(x)=(x2＋ax＋b)e3－x(x∈R)的一个极值点．
(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；
(2)设
＞0，
=(
)
．若存在
使得|
|＜1成立，求
的取值范围．
解：
(1)
，
由f′(3)=0得
，
所以
，
令f′(x)=0得
．
由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠－4，
当
时，
，故f(x)在
上为减函数，在
上为增函数，在
上为减函数．
当a＞－4时，x1＞x2，故f (x)在(－∞，－a－1]上为减函数，在[－a－1，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．
(2)当a＞0时，－a－1＜0，故f(x)在[0，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．
因此f(x)在[0，4]上的值域为
，
而
在[0，4]上为增函数，所以值域为
．
注意到
，
故由假设知
解得
．
故
的取值范围是
．
例7、定义在(0，＋∞)上的函数
，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.
(1)若函数f(x)在点x=1处连续，求a的值；
(2)若函数f(x)为(0，1)上的单调函数，求实数a的取值范围；并判断此时函数f(x)在(0，＋∞)上是否为单调函数；
(3)当x∈(0，1)时，记g(x)=lnf(x)＋x2－ax. 试证明：对
，当n≥2时，有
解：
(1)∵f(1)=1，
，
已知f(x)在点x=1处连续，∴有ea－1=1. ∴a=1.
(2)当x∈(0，1)时，
此时，
，
∵
，
，∴
不可能在(0，1)上恒小于0.
故f(x)在(0，1)上必为增函数. ∴－2x2＋ax＋1
0在(0，1)上恒成立.
在(0，1)上恒成立.
设
，x∈(0，1). ∵u(x)在(0，1)上是增函数，u(x)＜1.
∴当a≥1时，f(x)在(0，1)上是增函数.
当a=1时，f(x)在(0，＋∞)上也是增函数；
当a＞1时，∵
，
此时，f(x)在(0，＋∞)上不是增函数.
(3)当x∈(0，1)时，g(x)=lnf(x)＋x2－ax=lnx. 当n≥2时，
，
，其中t∈(0，1).
，t∈(0，1).
，∴h(t)在(0，1)上是减函数，而
，
同理，设s(t)=lnt－t＋1，t∈(0，1).
，∴s(t)在(0，1)上是增函数，而
，
故有
，其中t∈(0，1).
，有
，
，
，
