题型一：向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
例1、(2007年全国高考II)在
中，已知D是AB边上一点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
在△ABC中，已知D是AB边上一点，若
=2
，
=
，则
=
，
∴
，选A．
例2．(2007年湖南高考)设
是非零向量，若函数
的图象是一条直线，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
，若函数
的图象是一条直线，即其二次项系数为0，
0
选A．
例3．已知| a |=1，| b |=1，a与b的夹角为60°，x =2a－b，y=3b－a，则x与y的夹角是多少？
解：
由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°，得a·b=|a||b|cosα=
.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b＋b2=4－4×
＋1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a＋a2=9－6×
＋1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2＋a·b
=7a·b－2a2－3b2 =7×
－2－3=－
，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－
=
×
cosθ，
∴cosθ=－
，θ=π－arccos
.
即x与y的夹角是π－arccos
．
点评：
①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x，y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得，如图所示，设
=b，
=a，
=2a，∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得
=
－
=2a－b.由余弦定理易得|
|=
，即|x|=
，同理可得|y|=
.
题型二：平面向量与函数、不等式的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
例4．已知平面向量a＝(
，－1)，b＝(
，
).
(1) 若存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.
解：
（1）法一：由题意知x＝(
，
)，
y＝(
t－
k，
t＋k)，又x⊥y．
故x · y＝×（
t－
k）＋×(
t＋k)＝0.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝
t3－
t.
法二：∵a＝(
，－1)，b＝(
，
)，∴
＝2，
＝1且a⊥b．
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k
2＋t(t2－3)
2＝0，
∴t3－3t－4k＝0，即k＝
t3－
t．
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝
t3－
t，∴kˊ＝fˊ(t) ＝
t2－
，
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1，1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点评：
第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.
演变：已知平面向量
＝(
，－1)，
＝(
，
)，若存在不为零的实数k和角α，使向量
＝
＋(sinα－3)
，
＝－k
＋(sinα)
，且
⊥
，试求实数k 的取值范围.
解：由条件可得：k＝
(sinα－
)2－
，而－1≤sinα≤1，
∴当sinα＝－1时，k取最大值1；sinα＝1时，k取最小值－
.
又∵k≠0，∴k的取值范围为
.
题型三：平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.
例5．（2007年天津高考）设两个向量
和
其中
为实数.若
则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：
由
可得
，
设
代入方程组可得
消去
化简得
，
再化简得
，
再令
代入上式得
，
可得
，解不等式得
．
因而
，解得
.故选A.
例6．设函数f (x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，1)，b＝(cosx，
sin2x)，x∈R.
（1）若f(x)＝1－
，且x∈[－
，
]，求x；
（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c=(m，n)(
<
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值．
思路分析：
本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能．
解：
(1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx，
sin2x)
＝2cos2x＋
sin2x＝1＋2sin(2x＋
)．
由1＋2sin(2x＋
)=1－
，得sin(2x＋
)＝－
.
∵－
≤x≤
，∴－
≤2x＋
≤
，
∴2x＋
=－
，即x＝－
.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m ，n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)＋n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
由(1)得f (x)＝
，∵
＜
，∴m＝－
，n＝1.
点评：
①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h，k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）．
题型四：平面向量与解析几何的综合运用
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，因此在向量与解析几何交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.
例7．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点F（c，0）(c＞0)的准线l与x轴相交于点A，
过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率；
(Ⅱ)设
，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，求证：
解：
(Ⅰ) 椭圆方程为
，离心率
(Ⅱ)证明：设P（x1，y1），Q (x2，y2)，又A（3，0），
，
由已知得方程组：
；
注意λ＞1，消去x1、y1和y2得
，因F（2 ，0），M（x1，－y1），
故
而
.所以
.
点评：
运用向量共线的充要条件来处理解几种有关平行、共线等问题思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多.
题型五：平面向量与三角形的“心”有关问题
（I）与“重心”有关的向量问题
例8．已知O为平面内一点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足
，则动点P的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
解：
由
得
，取BC的中点D，则
，故
，所以A、P、D三点共线，故动点P的轨迹一定通过
的重心．故选A．
（II）与“垂心”有关的向量问题
例9．已知O为
所在平面内一点，满足
，则点O是
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
解：
设
，由
可得：
，即
，∴
，故
，同理可得
，∴O是
的垂心．故选B．
例10．已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则动点P的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
解：
所给式子可化为
，
由于
.
故
，∴动点P的轨迹一定通过
的垂心．故选B．
（III）与“外心”有关的向量问题
例11．已知O为
所在平面内一点，若
，则O是
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
解：
，∴
，即
，故O是
的外心．故选C．
例12．已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，点P满足
，则动点P的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
解：
设BC的中点为D，则可知当
时，
表示垂直于BC的向量，所以点P在BC的垂直平分线上，即动点P的轨迹一定通过
的外心．故选C．
（IV）与“内心”有关的向量问题
例13．已知O为
所在平面内一点，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若
，则O是
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
解：
∵
与
分别是
和
方向上的单位向量，设
，可知AP平分
，所以AO平分
，同理可证OB平分
，OC平分
．故应选D．
专题小结
1、要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
2、向量与函数、不等式的综合问题，解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
3、平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.
