冲刺练习
 



  
数列、数列的极限与数学归纳法

一、复习策略

  本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点.

  高考对本章考查比较全面,等差、等比数列,数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏.就近五年高考试卷平均计算,本章内容在文史类中分数占13%,理工类卷中分数占11%,由此可以看出数列这一章的重要性.

  本章在高考中常见的试题类型及命题趋势:

  (1)数列中的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是:“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”,近几年命题严格按照《考试说明》,不要求较复杂由递推公式求通项问题.

  (2)探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.

  (3)等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、中等题,也有难题.

  (4)求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和.

  (5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所占的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查.

  通过上述分析,在学习中应着眼于教材的基本知识和方法,不要盲目扩大,应着重做好以下几方面:

  理解概念,熟练运算

  巧用性质,灵活自如

二、典例剖析

考点一:数列的通项与它的前n项和

1只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数.41,43,47,53,61,71,83,97是一个由8个质数组成的数列,小王正确地写出了它的一个通项公式,并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数.试写出一个数P满足小王得出的通项公式,但它不是质数,则P=__________.

解析:

  

  .显然当有因数41,此时

答案:1681

点评:

  本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力.体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点.

2已知等差数列中,,前10项之和是15,又记.

(1)求的通项公式;

(2)求

(3)求的最大值.(参考数据:ln2=0.6931)

解析:

  (1)由,得

  

  (2)

  

  (3)法一:,由ln2=0.6931,计算>0,<0,所以极大值点满足,但,所以只需比较的大小:

  法二:数列的通项

  令

  

点评:

  求时,也可先求出,这要正确理解“”,其中应处在的表达式中的位置.

3已知数列的首项,前项和为,且

  (1)证明数列是等比数列;

  (2)令,求函数在点处的导数,并比较的大小.

解析:

  (1)由已知时,

  两式相减,得,即,从而

  当时,

  又.从而

  故总有

  又.从而

  即是以为首项,2为公比的等比数列.

  (2)由(1)知

  

  

  

  当n=1时,(*)式=0,

  当n=2时,(*)式=-12<0,

  当n≥3时,n-1>0.

  又

  ,即(*)式>0,从而

考点二:等差数列与等比数列

例4、有n2(n≥4)个正数,排成n×n矩阵(n行n列的数表,如下图).

  其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,且满足:

a24=1,a42=,a43=

(1)求公比q;

(2)用k表示a4k

(3)求a11+a22+a33+…+ann的值.

分析:

  解答本题的关键首先是阅读理解,熟悉矩阵的排列规律,其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解.

解:

  (1)∵每一行的数列成等差数列,

  ∴a42,a43,a44成等差数列,∴2a43= a42+a44,a44=;

  又每一列的数成等比数列,a44=a24·q2,a24=1,∴q2=,且an>0,∴q=.

  (2)a4k= a42+(k-2)d=+(k-2)( a43-a42)=.

  (3)∵第k列的数成等比数列,∴akk= a4k·qk-4=·()k-4= k·()k (k=1,2,…,n).记a11+a22+a33+…+ann=Sn,则Sn=+2·()2+3·()2+…+n·()nSn=()2+2·()3+…+(n-1) ()n+n()n+1

  两式相减,得Sn=+()2+…+()n-n()n+1=1-

  ∴Sn=2-,即a11+a22+a33+…+ann=2-

5已知分别是轴,轴方向上的单位向量,(n=2,3,4,…),在射线上从下到上依次有点 =(n=2,3,4,…).

(1)求

(2)求

(3)求四边形面积的最大值.

解析:

  (1)由已知,得

  

  (2)由(1)知

  

  

  均在射线上,

  

  (3)四边形的面积为

  又的底边上的高为

  又到直线的距离为

  

  而

  

点评:

  本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合,体现了在知识交汇点设题的命题原则.其中割补法是解决四边形面积的常用方法.

考点三:数列的极限

6给定抛物线,过原点作斜率为1的直线交抛物线于点,其次过作斜率为的直线与抛物线交于.过作斜率为的直线与抛物线交于,由此方法确定:一般地说,过作斜率为的直线与抛物线交于点.设的坐标为,试求,再试问:点,…向哪一点无限接近?

解析:

  ∵都位于抛物线上,从而它们的坐标分别为,∴直线的斜率为,于是

  即

  .因此,数列是首项为

  公比的等比数列.又

  

  ,因此点列向点无限接近.

点评:

  本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用,求解问题的关键是要利用图形的变化发现点运动的规律,从而便于求出极限值来.

7已知点满足:对任意的.又已知

(1)求过点的直线的方程;

(2)证明点在直线上;

(3)求点的极限位置.

解析:

  (1)

  ,则

  化简得,即直线的方程为

  (2)已知在直线上,假设在直线上,则有,此时

  

  也在直线上.

  ∴点在直线上.

  (3)

  即构成等差数列,公差,首项

  ,故

  

  .故的极限位置为(0,1).

考点四:数学归纳法

8是满足不等式的自然数的个数.

(1)求的解析式;

(2)设,求的解析式;

(3),试比较的大小.

解析:

  先由条件解关于的不等式,从而求出

  (1)

  得

  (2)

  (3)

  n=1时,21-12>0;=2时,22-22=0;n=3时,23-32<0;n=4时,24-42=0;n=5时,25-52>0;n=6时,26-62>0.

  猜想:n≥5时,,下面对n≥5时2n>n2用数学归纳法证明:

  (i)当n=5时,已证25>52

  (ii)假设时,,那么

  

  

  ,即当时不等式也成立.

  根据(i)和(ii)时,对,n≥5,2n>n2,即

  综上,n=1或n≥5时,n=2或n=4时

点评:

  这是一道较好的难度不太大的题,它考查了对数、不等式的解法,数列求和及数学归纳法等知识.对培养学生综合分析问题的能力有一定作用.

9已知数列

(1)求的通项公式;

(2)若数列

证明:

解:

  (1)由题设:

  

  所以,数列是首项为,公比为的等比数列,

  即的通项公式为

  (2)用数学归纳法证明.

  (ⅰ)当时,因,所以,结论成立.

  (ⅱ)假设当时,结论成立,即,也即

  当时,

  

  又

  所以

   

  也就是说,当时,结论成立.

  根据(ⅰ)和(ⅱ)知

考点五:数列的应用

10李先生因病到医院求医,医生给他开了处方药(片剂),要求每12小时服一片,已知该药片每片220毫克,他的肾脏每12小时排出这种药的60%,并且如果这种药在体内残留量超过386毫克,将会产生副作用,请问:

  李先生第一天上午8时第一次服药,则第二天早上8时服完药时,药在他体内的残留量是多少毫克?

  如果李先生坚持长期服用此药,会不会产生副作用?为什么?

解:

  (1)设第次服药后,药在他体内残留量为毫克,依题意,

故第二天早上8时第三次服完药时,药在他体内的残留量是343.2毫克.

  (2)由

  故长期服用此药不会产生副作用.

例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。

(1)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;

(2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.

解:

  (1)我们有

  (2),对反复使用上述关系式,得

  

  ,①

  在①式两端同乘,得

  

  ②-①,得

        

  即

  如果记,则.其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.

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