本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点.
高考对本章考查比较全面,等差、等比数列,数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏.就近五年高考试卷平均计算,本章内容在文史类中分数占13%,理工类卷中分数占11%,由此可以看出数列这一章的重要性.
本章在高考中常见的试题类型及命题趋势:
(1)数列中与的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意与的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是:“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”,近几年命题严格按照《考试说明》,不要求较复杂由递推公式求通项问题.
(2)探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
(3)等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、中等题,也有难题.
(4)求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和.
(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所占的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查.
通过上述分析,在学习中应着眼于教材的基本知识和方法,不要盲目扩大,应着重做好以下几方面:
理解概念,熟练运算
巧用性质,灵活自如
考点一:数列的通项与它的前n项和
例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数.41,43,47,53,61,71,83,97是一个由8个质数组成的数列,小王正确地写出了它的一个通项公式,并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数.试写出一个数P满足小王得出的通项公式,但它不是质数,则P=__________.
解析:
,
.显然当时有因数41,此时.
答案:1681
点评:
本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力.体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点.
例2、已知等差数列中,,前10项之和是15,又记.
(1)求的通项公式;
(2)求;
(3)求的最大值.(参考数据:ln2=0.6931)
解析:
(1)由,得,
.
(2)
.
(3)法一:,,由ln2=0.6931,计算>0,<0,所以极大值点满足,但,所以只需比较与的大小:,.
法二:数列的通项,
令,
.
点评:
求时,也可先求出,这要正确理解“”,其中应处在的表达式中的位置.
例3、已知数列的首项,前项和为,且.
(1)证明数列是等比数列;
(2)令,求函数在点处的导数,并比较与的大小.
解析:
(1)由已知时,.
两式相减,得,即,从而.
当时,.
又.从而.
故总有.
又.从而.
即是以为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知,
.
当n=1时,(*)式=0,;
当n=2时,(*)式=-12<0,;
当n≥3时,n-1>0.
又,
,即(*)式>0,从而.
考点二:等差数列与等比数列
例4、有n2(n≥4)个正数,排成n×n矩阵(n行n列的数表,如下图).
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,且满足:
a24=1,a42=,a43=,
(1)求公比q;
(2)用k表示a4k;
(3)求a11+a22+a33+…+ann的值.
分析:
解答本题的关键首先是阅读理解,熟悉矩阵的排列规律,其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解.
解:
(1)∵每一行的数列成等差数列,
∴a42,a43,a44成等差数列,∴2a43= a42+a44,a44=;
又每一列的数成等比数列,a44=a24·q2,a24=1,∴q2=,且an>0,∴q=.
(2)a4k= a42+(k-2)d=+(k-2)( a43-a42)=.
(3)∵第k列的数成等比数列,∴akk= a4k·qk-4=·()k-4= k·()k (k=1,2,…,n).记a11+a22+a33+…+ann=Sn,则Sn=+2·()2+3·()2+…+n·()n,Sn=()2+2·()3+…+(n-1) ()n+n()n+1,
两式相减,得Sn=+()2+…+()n-n()n+1=1-,
∴Sn=2-,即a11+a22+a33+…+ann=2-.
例5、已知分别是轴,轴方向上的单位向量,且(n=2,3,4,…),在射线上从下到上依次有点,且 =(n=2,3,4,…).
(1)求;
(2)求;
(3)求四边形面积的最大值.
解析:
(1)由已知,得,
(2)由(1)知,
.
且均在射线上,.
.
(3)四边形的面积为.
又的底边上的高为.
又到直线的距离为.
,
而,
.
点评:
本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合,体现了在知识交汇点设题的命题原则.其中割补法是解决四边形面积的常用方法.
考点三:数列的极限
例6、给定抛物线,过原点作斜率为1的直线交抛物线于点,其次过作斜率为的直线与抛物线交于.过作斜率为的直线与抛物线交于,由此方法确定:一般地说,过作斜率为的直线与抛物线交于点.设的坐标为,试求,再试问:点,…向哪一点无限接近?
解析:
∵、都位于抛物线上,从而它们的坐标分别为,∴直线的斜率为,于是,
即,
.因此,数列是首项为,
公比的等比数列.又,
,因此点列向点无限接近.
点评:
本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用,求解问题的关键是要利用图形的变化发现点运动的规律,从而便于求出极限值来.
例7、已知点满足:对任意的,.又已知.
(1)求过点的直线的方程;
(2)证明点在直线上;
(3)求点的极限位置.
解析:
(1),
,则.
化简得,即直线的方程为.
(2)已知在直线上,假设在直线上,则有,此时
,
也在直线上.
∴点在直线上.
(3),
即构成等差数列,公差,首项,
,故.
.
.故的极限位置为(0,1).
考点四:数学归纳法
例8、设是满足不等式的自然数的个数.
(1)求的解析式;
(2)设,求的解析式;
(3),试比较与的大小.
解析:
先由条件解关于的不等式,从而求出.
(1)即
得.
(2).
(3).
n=1时,21-12>0;=2时,22-22=0;n=3时,23-32<0;n=4时,24-42=0;n=5时,25-52>0;n=6时,26-62>0.
猜想:n≥5时,,下面对n≥5时2n>n2用数学归纳法证明:
(i)当n=5时,已证25>52.
(ii)假设时,,那么
.
.
,即当时不等式也成立.
根据(i)和(ii)时,对,n≥5,2n>n2,即.
综上,n=1或n≥5时,n=2或n=4时时.
点评:
这是一道较好的难度不太大的题,它考查了对数、不等式的解法,数列求和及数学归纳法等知识.对培养学生综合分析问题的能力有一定作用.
例9、已知数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)若数列中,,,
证明:,.
解:
(1)由题设:
,.
所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,
即的通项公式为,.
(2)用数学归纳法证明.
(ⅰ)当时,因,,所以,结论成立.
(ⅱ)假设当时,结论成立,即,也即.
当时,
,
又,
所以
.
也就是说,当时,结论成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)知,.
考点五:数列的应用
例10、李先生因病到医院求医,医生给他开了处方药(片剂),要求每12小时服一片,已知该药片每片220毫克,他的肾脏每12小时排出这种药的60%,并且如果这种药在体内残留量超过386毫克,将会产生副作用,请问:
李先生第一天上午8时第一次服药,则第二天早上8时服完药时,药在他体内的残留量是多少毫克?
如果李先生坚持长期服用此药,会不会产生副作用?为什么?
解:
(1)设第次服药后,药在他体内残留量为毫克,依题意,
故第二天早上8时第三次服完药时,药在他体内的残留量是343.2毫克.
(2)由,
,.
故长期服用此药不会产生副作用.
例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
(1)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.
解:
(1)我们有.
(2),对反复使用上述关系式,得
,①
在①式两端同乘,得
②
②-①,得
.
即.
如果记,,则.其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.