本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.
高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏．就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性.
本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：
(1)数列中
与
的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意
与
的关系．关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题．
(2)探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．
(3)等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题．
(4)求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查．
通过上述分析，在学习中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：
理解概念，熟练运算
巧用性质，灵活自如
考点一：数列的通项与它的前n项和
例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数．41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P=__________．
解析：
，
．显然当
时
有因数41，此时
．
答案：1681
点评：
本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力．体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点．
例2、已知等差数列
中，
，前10项之和是15，又记
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
；
(3)求
的最大值．(参考数据：ln2=0.6931)
解析：
(1)由
，得
，
．
(2)
．
(3)法一：
，
，由ln2=0.6931，计算
>0，
<0，所以极大值点
满足
，但
，所以只需比较
与
的大小：
，
．
法二：数列
的通项
，
令
，
．
点评：
求
时，也可先求出
，这要正确理解“
”，其中
应处在
的表达式中
的位置．
例3、已知数列
的首项
，前
项和为
，且
．
(1)证明数列
是等比数列；
(2)令
，求函数
在点
处的导数
，并比较
与
的大小．
解析：
(1)由已知
时，
．
两式相减，得
，即
，从而
．
当
时，
．
又
．从而
．
故总有
．
又
．从而
．
即
是以
为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知
，
．
当n=1时，(*)式=0，
；
当n=2时，(*)式=－12<0，
；
当n≥3时，n－1>0．
又
，
，即(*)式>0，从而
．
考点二：等差数列与等比数列
例4、有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表，如下图)．
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：
a24=1，a42=
，a43=
，
(1)求公比q；
(2)用k表示a4k；
(3)求a11＋a22＋a33＋…＋ann的值.
分析：
解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解．
解：
(1)∵每一行的数列成等差数列，
∴a42，a43，a44成等差数列，∴2a43= a42＋a44，a44=
;
又每一列的数成等比数列，a44=a24·q2，a24=1，∴q2=
，且an>0，∴q=
.
(2)a4k= a42＋(k－2)d=
＋(k－2)( a43－a42)=
.
(3)∵第k列的数成等比数列，∴akk= a4k·qk－4=
·(
)k－4= k·(
)k (k=1，2，…，n).记a11＋a22＋a33＋…＋ann=Sn，则Sn=
＋2·(
)2＋3·(
)2＋…＋n·(
)n，
Sn=(
)2＋2·(
)3＋…＋(n－1) (
)n＋n(
)n＋1，
两式相减，得
Sn=
＋(
)2＋…＋(
)n－n(
)n＋1=1－
，
∴Sn=2－
，即a11＋a22＋a33＋…＋ann=2－
．
例5、已知
分别是
轴，
轴方向上的单位向量，
且
(n=2，3，4，…)，在射线
上从下到上依次有点
，
且
=
(n=2，3，4，…)．
(1)求
；
(2)求
；
(3)求四边形
面积的最大值．
解析：
(1)由已知
，得
，
(2)由(1)知
，
．
且
均在射线
上，
．
．
(3)四边形
的面积为
．
又
的底边
上的高为
．
又
到直线
的距离为
．
，
而
，
．
点评：
本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设题的命题原则．其中割补法是解决四边形面积的常用方法．
考点三：数列的极限
例6、给定抛物线
，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点
，其次过
作斜率为
的直线与抛物线交于
．过
作斜率为
的直线与抛物线交于
，由此方法确定：
一般地说，过
作斜率为
的直线与抛物线交于点
．设
的坐标为
，试求
，再试问：点
，…向哪一点无限接近？
解析：
∵
、
都位于抛物线
上，从而它们的坐标分别为
，∴直线
的斜率为
，于是
，
即
，
．因此，数列
是首项为
，
公比
的等比数列．又
，
，因此点列
向点
无限接近．
点评：
本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用，求解问题的关键是要利用图形的变化发现点运动的规律，从而便于求出极限值来．
例7、已知点
满足：对任意的
，
．又已知
．
(1)求过点
的直线
的方程；
(2)证明点
在直线
上；
(3)求点
的极限位置．
解析：
(1)
，
，则
．
化简得
，即直线
的方程为
．
(2)已知
在直线
上，假设
在直线
上，则有
，此时
，
也在直线
上．
∴点
在直线
上．
(3)
，
即
构成等差数列，公差
，首项
，
，故
．
．
．故
的极限位置为(0，1)．
考点四：数学归纳法
例8、设
是满足不等式
的自然数
的个数．
(1)求
的解析式；
(2)设
，求
的解析式；
(3)
，试比较
与
的大小．
解析：
先由条件解关于
的不等式，从而求出
．
(1)
即
得
．
(2)
．
(3)
．
n=1时，21－12>0；
=2时，22－22=0；n=3时，23－32<0；n=4时，24－42=0；n=5时，25－52>0；n=6时，26－62>0．
猜想：n≥5时，
，下面对n≥5时2n>n2用数学归纳法证明：
(i)当n=5时，已证25>52．
(ii)假设
时，
，那么
．
．
，即当
时不等式也成立．
根据(i)和(ii)时，对
，n≥5，2n>n2，即
．
综上，n=1或n≥5时
，n=2或n=4时
时
．
点评：
这是一道较好的难度不太大的题，它考查了对数、不等式的解法，数列求和及数学归纳法等知识．对培养学生综合分析问题的能力有一定作用．
例9、已知数列
中
，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
中
，
，
，
证明：
，
．
解：
(1)由题设：
，
．
所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，
即
的通项公式为
，
．
(2)用数学归纳法证明．
(ⅰ)当
时，因
，
，所以
，结论成立．
(ⅱ)假设当
时，结论成立，即
，也即
．
当
时，
，
又
，
所以
．
也就是说，当
时，结论成立．
根据(ⅰ)和(ⅱ)知
，
．
考点五：数列的应用
例10、李先生因病到医院求医，医生给他开了处方药(片剂)，要求每12小时服一片，已知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时排出这种药的60%，并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，将会产生副作用，请问：
李先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早上8时服完药时，药在他体内的残留量是多少毫克？
如果李先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用？为什么？
解：
(1)设第
次服药后，药在他体内残留量为
毫克，依题意，
故第二天早上8时第三次服完药时，药在他体内的残留量是343.2毫克.
(2)由
，
，
．
故长期服用此药不会产生副作用．
例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
(1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式；
(2)求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
解：
(1)我们有
．
(2)
，对
反复使用上述关系式，得
，①
在①式两端同乘
，得
②
②－①，得
．
即
．
如果记
，
，则
．其中
是以
为首项，以
为公比的等比数列；
是以
为首项，
为公差的等差数列．
