一、复习策略

　　高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题， 1个填空题， 1个解答题)，共计22分左右，考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主，难度在中等以下，一般较容易得分，解答题重点考查圆锥曲线中的综合问题．圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、向量等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.

　　解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.

　　(1) 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．

　　(2)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域．

　　(3)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．

二、典例剖析

题型一：与圆锥曲线定义有关的问题

例1．(2008年北京高考)若点P到直线x=－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为（　）

A．圆　　　　　B．椭圆　　　　　C．双曲线　　　　　D．抛物线

答案：D

例2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（　）

　　A. 6　　　　　　B.7　　　　　　　C.8　　　　　　　　D.9

答案：D

解：

　　设双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)与F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9，故选D．

题型二：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等

例3．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为（　）

　　　A．－1　　　　B．2－　　　　C．　　　　D．

答案：A

解：易知圆F2的半径为c，(2a－c)2＋c2=4c2，()2＋2()－2=0，=－1．

例4．如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程．

解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系.

　　设双曲线方程为=1(a＞0，b＞0)．

　　由e2=，得．

　　∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x．

　　设点P1(x1，x1)，P2(x2，－x2)(x1＞0，x2＞0)，则由点P分所成的比λ==2，得P点坐标为()，又点P在双曲线=1上，所以=1，

　　即(x1＋2x2)2－(x1－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2．①

即x1x2=．②

　　由①、②得a2=4，b2=9，故双曲线方程为=1.

题型三：直线与圆锥曲线的位置关系

例5．如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

解法一：由题意，可设l的方程为y=x＋m，其中－5＜m＜0.

　　由方程组，消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2=0　　①

　　∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

　　∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0，

　　解得m＜1，又－5＜m＜0，∴m的范围为(－5，0)．

　　设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2=4－2m，x1·x2=m2，

　　∴|MN|=4.

　　点A到直线l的距离为d=.

　　∴S△=2(5＋m)，从而S△2=4(1－m)(5＋m)2．

　　=2(2－2m)·(5＋m)(5＋m)≤2()3=128．

　　∴S△≤8，当且仅当2－2m=5＋m，即m=－1时取等号.

　　故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.

解法二：由题意，可设l与x轴相交于B(m，0)，l的方程为x = y＋m，其中0＜m＜5.

　　由方程组，消去x，得y2－4y－4m=0　①

　　∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

　　∴方程①的判别式Δ=(－4)2＋16m=16(1＋m)＞0必成立，

　　设M(x1，y1)，N(x2，y2)则y1＋y2=4，y1·y2=－4m，

　　∴S△=

　　＝4=4

　　．

　　∴S△≤8，当且仅当即m=1时取等号.

　　故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.

例6．已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)．

　　(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

　　(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

解：

　　(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1)，代入C的方程，并整理得

　　(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6=0 (*)

　　(ⅰ)当2－k2=0，即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点．

　　(ⅱ)当2－k2≠0，即k≠±时

　　Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2＋4k－6)=16(3－2k)．

　　①当Δ=0，即3－2k=0，k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.

　　②当△＞0，即k＜，又k≠±，故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.

　　③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.

　　综上知：当k=±，或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；

　　当＜k＜，或－＜k＜，或k＜－时，l与C有两个交点；

　　当k＞时，l与C没有交点.

　　(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2x12－y12=2，2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1＋x2)=(y1－y2)(y1＋y2)．

　　又∵x1＋x2=2，y1＋y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y2 即kAB==2．

　　但渐近线斜率为±，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

题型四：圆锥曲线中的定值问题

例7．(08安徽)设椭圆过点，且左焦点为．

　　(Ⅰ)求椭圆C的方程；

　　(Ⅱ)当过点P（4，1）的动直线与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某定直线上．

解：(Ⅰ)由题意：

　　，解得a2=4，b2=2，所求椭圆方程为．

　　(Ⅱ)方法一：设点Q、A、B的坐标分别为(x，y)，（x1，y1），（x2，y2）．

　　由题设知均不为零，记，则且.

　　又A、P、B、Q四点共线，从而．

　　于是，．

　　，．

　　从而， (1)， (2)

　　又点A、B在椭圆C上，即

　　

　　(1)＋(2)×2并结合(3)，(4)得4x＋2y=4，

　　即点Q（x，y）总在定直线2x＋y－2=0上．

　　方法二：设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．由题设，均不为零．

　　且

　　又P，A，Q，B四点共线，可设，于是

　　　　(1)

　　　　(2)

　　由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，将(1)(2)分别代入C的方程x2＋2y2=4，整理得

　　　(3)

　　　(4)

　　(4)－(3)得．

　　，即点Q（x，y）总在定直线2x＋y－2=0上．

题型五：圆锥曲线中的最值问题

例8．如图，已知椭圆=1(2≤m≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||．

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值．

解：

　　(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m，b2=m－1，c2=a2－b2=1．

　　∴椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．

　　故直线的方程为y=x＋1，又椭圆的准线方程为x=±，即x=±m．

　　∴A(－m，－m＋1)，D(m，m＋1)．

　　考虑方程组，消去y得：(m－1)x2＋m(x＋1)2=m(m－1)．

　　整理得：(2m－1)x2＋2mx＋2m－m2=0．

　　Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2．

　　∵2≤m≤5，∴Δ＞0恒成立，xB＋xC=.

　　又∵A、B、C、D都在直线y=x＋1上．

　　∴|AB|=|xB－xA|·=(xB－xA)·，|CD|=(xD－xC)．

　　∴||AB|－|CD||=|xB－xA＋xC－xD|=|(xB＋xC)－(xA＋xD)|．

　　又∵xA=－m，xD=m，∴xA＋xD=0．

　　∴||AB|－|CD||=|xB＋xC|·=||·= (2≤m≤5)．

　　故f(m)=，m∈［2，5］.

　　(2)由f(m)= ，可知f(m)=．

　　又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈．

　　故f(m)的最大值为，此时m=2；f(m)的最小值为，此时m=5．

题型六：多曲线的综合问题

例9．已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

　　(Ⅰ)当AB⊥轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

　　(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由.

解：

　　(Ⅰ)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 x=1，

　　从而点A的坐标为(1，)或(1，－).

　　因为点A在抛物线上，所以，即.

　　此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.

　　(II)解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由(I)知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k(x－1).

　　由消去y得①

　　设A、B的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，x1＋x2＝.

　　由

　　消去y得. ②

　　因为C2的焦点在直线上，

　　所以，即.代入②有.

　　即. ③

　　由于x1，x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.

　　从而＝.解得　④

　　又AB过C1、C2的焦点，所以

，

　　则　⑤

　　由④、⑤式得，即k4－5k2－6=0．

　　解得k2=6. 于是

　　因为C2的焦点在直线上，所以.

　　∴或.

　　由上知，满足条件的m、p存在，且或，.

解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，（x2，y2）.

　　因为AB既过C1的右焦点F（1，0），又过C2的焦点，

　　所以.

　　即.　　①

　　由(Ⅰ)知x1≠x2，p≠2，于是直线AB的斜率，　②

　　且直线AB的方程是，

　　所以.　　③

　　又因为，所以. ④

　　将①、②、③代入④得. ⑤

　　因为，所以. ⑥

　　将②、③代入⑥得⑦

　　由⑤、⑦得即．

　　解得.将代入⑤得

　　∴　或.

　　由上知，满足条件的m、p存在，且或，.

- 返回 -