一、复习策略

　　高考立体几何试题一般有3题左右，主要考查空间中的平行与垂直关系、空间中的角与距离、多面体与球等知识．对于空间中的角主要有：异面直线所成的角、线面角、二面角；空间中的距离主要有：点与点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离、线面距、面面距等，一般是以棱柱或棱锥为载体来考查．

对于这些问题的解决方法主要如下：

1、异面直线夹角：

(1)平移法：将两条异面直线平移成两条相交直线．

(2)向量法：求两异面直线方向向量的夹角．

2、斜线与平面夹角：

　　(1)定义法：作出斜线在平面上的射影，转化为斜线与射影的夹角，放在一个三角形中求解．

　　(2)向量法：转化为求解斜线方向向量与平面法向量夹角问题．

3、二面角：

　　(1)定义法：由图形特殊的性质或条件，依定义作出二面角的平面角，再计算．

　　(2)三垂线法：利用三垂线定理及逆定理作平面角．

　　(3)射影面积法：(为二面角的大小)．

　　(4)向量法：

　　①转化为两半平面内垂直于棱的向量的夹角．

　　②转化成两个半平面法向量的夹角．

　　使用向量法可以简化几何关系证明，但应注意向量夹角等于二面角或其补角．

4、求距离的一般方法：作出距离直接求，或转化为点到面的距离来求，还可以借助向量来求．

　　借助向量求距离的方法：

　　(1)点面距离的向量公式

　　平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即．

　　(2)线面、面面距离的向量公式

　　平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．

　　平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．

　　(3)异面直线的距离的向量公式

　　设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．

二、典例剖析

题型一：平行与垂直

例1、（07浙江卷）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（　　）

A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

解：

　　设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误．

　　由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确．

　　对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m；若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误．若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．选B．

例2、(07上海卷)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l1，l2在α上的射影是直线s1，s2，l1，l2在β上的射影是直线t1，t2．用s1与s2，t1与t2的位置关系，写出一个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件：________________________________________．

解：

　　作图易得“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“，并且t1与t2相交”或“，并且s1与s2相交”．

例3、如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．

　　（1）若D是BC的中点，求证AD⊥CC1；

　　（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．

　　（3）AM=MA1是截面MBC1⊥侧面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由．

解：（1）∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC．

　　∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，交线为BC．

　　∵由面面垂直的性质定理可知AD⊥侧面BB1C1C．

　　又∵CC1侧面BB1C1C．∴AD⊥CC1．

　　（2）证法一：延长B1A1与BM交于N（在侧面AA1B1B中），连结C1N．

　　∴AM=MA1，∴NA1=A1B1．

　　又∵A1B1=A1C1（由棱柱定义知△ABC≌△A1B1C1，∴AB=A1B1，AC=A1C1），

　　∴A1C1=A1N=A1B1．

　　∴在ΔB1C1N中，由平面几何定理知：∠NC1B1=90°，即C1N⊥B1C1．

　　又∵侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1．∴NC1⊥侧面BB1C1C．

　　又∵NC1面BNC1，∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C，

　　∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．

　　证法二：取BC1中点E，连结DE、ME．

　　在ΔBCC1中，D、E分别是BC、BC1的中点，∴DE，

　　又AA1CC1，∴DE．∵M是AA1的中点（由AM=MA1知），∴DEAM．

　　∴AMED是平行四边形．∴ADME．

　　由（1）知AD⊥面BB1C1C．∴ME⊥侧面BB1C1C．

　　又∵ME面BMC1，∴面BMC1⊥侧面BB1C1C．

　　（3）结论是肯定的，充分性已由（2）证明．下面仅证明必要性（即由截面BMC1⊥侧面BB1C1C．推出AM=MA1，实质证明M是AA1的中点．）

　　过M作ME1⊥BC1于E1．∵截面BMC1⊥侧面BB1C1C，交线为BC1．

　　∴ME1⊥侧面BB1C1C．

　　又由（1）知⊥侧面BB1C1C．

　　因为同垂直于一个平面的两条直线平行，∴AD∥MB1．

　　∴M、E1、D、A四点共面．

　　又∵AM∥侧面BB1C1C，面AME1D面BB1C1C=DE1，

　　∴由线面平行的性质定理可知AM∥DE1，又AD∥ME1，

　　∴四边形AME1D是平行四边形．∴AD=ME1，DE1AM．

　　又∵AM∥CC1，∴DE1∥CC1．又∵D是BC中点，∴E1是BC1中点．

　　．

题型二：空间的角

例4、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝．

　　(Ⅰ)证明：SA⊥BC；

　　(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；

解法一：

　　（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，，得，．

△SAB的面积．

连结DB，得△DAB的面积．

设D到平面SAB的距离为h，由于，得

，解得．

设SD与平面SAB所成角为，则．

所以，直线SD与平面SAB所成的角为．

解法二：

　　（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以SO=BO．

　　又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．

　　如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，，，，，，，，所以．

　　（Ⅱ）取AB中点E，，

　　连结SE，取SE中点G，连结OG，．

　　，，．

　　，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

　　所以OG⊥平面SAB，与的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余．

，．

，，

所以，直线SD与平面SAB所成的角为．

例5、如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，PA=4，AD=2，，BC=6．

(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求二面角A—PC—D的大小；

解法一：

　　（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD．∴BD⊥PA．

　　又，．

　　∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．

　　又．∴BD⊥平面PAC．

　　（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．

　　∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，为二面角A—PC—D的平面角．

　　又∠DAC=90°－∠BAC=30°，

　　∴DE=ADsin∠DAC=1，

　　，

　　又，，．

　　由Rt△EFC∽Rt△PAC得．

在Rt△EFD中，，．

∴二面角A—PC—D的大小为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，

则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，4），

，，，

，．∴BD⊥AP，BD⊥AC，

又，∴BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）设平面的法向量为，

则，，

又，，

解得

平面的法向量取为，

，．

∴二面角A—PC—D的大小为．

题型三：空间距离

例6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=AD=a，∠ADC=arccos，PA⊥面ABCD且PA=a.

(1)求异面直线AD与PC间的距离；

(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为．

解：

　　(1)∵BC∥AD，BC面PBC，∴AD∥面PBC，从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离．

　　过A作AE⊥PB，又AE⊥BC，∴AE⊥平面PBC，AE为所求．

　　在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a，∴AE=a．

　　(2)作CM∥AB，由已知cos∠ADC=．

　　∴tan∠ADC=，即CM=DM．

　　∴ABCM为正方形，AC=a，PC=a．

　　过A作AH⊥PC，在Rt△PAC中，得AH=．

　　下面在AD上找一点F，使PC⊥CF．

　　取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形．

　　∴∠ACM＋∠FCM=45°＋45°=90°．

　　∴FC⊥AC，即FC⊥PC，∴在AD上存在满足条件的点F．

题型四：多面体与球

例7、(07湖南卷) 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（　）

A．　　　　　　　　　　　B．1

C．　　　　　　　　　　D．

解：

　　正方体对角线为球直径，所以，在过点E、F、O的球的大圆中，

　　由已知得d=，，所以EF=2r=．选D．

例8、设棱长为2R的立方体容器中装满水，先把半径为的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入二球后溢出的水量与容器容量之比．

解：

　　作出正方体的对角面，则在对角线的中点处，要使第二球放入后溢出水最多，则也在上，设小球半径为，则

所以放入二球后溢出的水量与容器容量之比为：．

题型五：几何体的展开与折叠

例9、正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少？并求之．

解：（1）从侧面到N，如图（1）所示，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，

（1）　　　　　　　　　　　　　　　（2）

　　则．

　　（2）从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开，展开，如图（2）所示，

题型六：立体几何与解析几何的综合

例10、如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，且，，，，，则点在平面内的轨迹是（　）

A．圆的一部分　　　　　　　B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分　　　　　D．抛物线的一部分

解：

　　由条件易得，且，，，可得，即，在平面内以所在的直线为轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则，，设点，则有，整理可得一个圆的方程，由于点不在直线上，故此轨迹为圆的部分．

例11、已知二面角的平面角为，、为垂足，且设、到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（　）

解：

　　法一：P到的距离即为P到点的距离，则平面内的点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等，故P的轨迹是抛物线．故选D．

　　法二：设平面与棱交于，则在中；在中，，故有，点在双曲线的第一象限部分，故选D．

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