一、复习策略
高考立体几何试题一般有3题左右,主要考查空间中的平行与垂直关系、空间中的角与距离、多面体与球等知识.对于空间中的角主要有:异面直线所成的角、线面角、二面角;空间中的距离主要有:点与点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离、线面距、面面距等,一般是以棱柱或棱锥为载体来考查.
对于这些问题的解决方法主要如下:
1、异面直线夹角:
(1)平移法:将两条异面直线平移成两条相交直线.
(2)向量法:求两异面直线方向向量的夹角.
2、斜线与平面夹角:
(1)定义法:作出斜线在平面上的射影,转化为斜线与射影的夹角,放在一个三角形中求解.
(2)向量法:转化为求解斜线方向向量与平面法向量夹角问题.
3、二面角:
(1)定义法:由图形特殊的性质或条件,依定义作出二面角的平面角,再计算.
(2)三垂线法:利用三垂线定理及逆定理作平面角.
(3)射影面积法:(为二面角的大小).
(4)向量法:
①转化为两半平面内垂直于棱的向量的夹角.
②转化成两个半平面法向量的夹角.
使用向量法可以简化几何关系证明,但应注意向量夹角等于二面角或其补角.
4、求距离的一般方法:作出距离直接求,或转化为点到面的距离来求,还可以借助向量来求.
借助向量求距离的方法:
(1)点面距离的向量公式
平面α的法向量为n,点P是平面α外一点,点M为平面α内任意一点,则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值,即.
(2)线面、面面距离的向量公式
平面α∥直线l,平面α的法向量为n,点M∈α、P∈l,平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值,即d=.
平面α∥β,平面α的法向量为n,点M∈α、P∈β,平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值,即d=.
(3)异面直线的距离的向量公式
设向量n与两异面直线a、b都垂直,M∈a、P∈b,则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值,即d=.
二、典例剖析
题型一:平行与垂直
例1、(07浙江卷)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面
解:
设过点P的直线为n,若n与l、m都平行,则l、m平行,与已知矛盾,故选项A错误.
由于l、m只有惟一的公垂线,而过点P与公垂线平行的直线只有一条,故B正确.
对于选项C、D可参考下图的正方体,设AD为直线l,A′B′为直线m;若点P在P1点,则显然无法作出直线与两直线都相交,故选项C错误.若P在P2点,则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面,故选项D错误.选B.
例2、(07上海卷)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知α,β是两个相交平面,空间两条直线l1,l2在α上的射影是直线s1,s2,l1,l2在β上的射影是直线t1,t2.用s1与s2,t1与t2的位置关系,写出一个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件:________________________________________.
解:
作图易得“能成为l1,l2是异面直线的充分条件”的是“,并且t1与t2相交”或“,并且s1与s2相交”.
例3、如图所示,在斜三棱柱A1B1C1—ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点,求证AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)AM=MA1是截面MBC1⊥侧面BB1C1C的充要条件吗?请你叙述判断理由.
解:(1)∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,交线为BC.
∵由面面垂直的性质定理可知AD⊥侧面BB1C1C.
又∵CC1侧面BB1C1C.∴AD⊥CC1.
(2)证法一:延长B1A1与BM交于N(在侧面AA1B1B中),连结C1N.
∴AM=MA1,∴NA1=A1B1.
又∵A1B1=A1C1(由棱柱定义知△ABC≌△A1B1C1,∴AB=A1B1,AC=A1C1),
∴A1C1=A1N=A1B1.
∴在ΔB1C1N中,由平面几何定理知:∠NC1B1=90°,即C1N⊥B1C1.
又∵侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1,交线为B1C1.∴NC1⊥侧面BB1C1C.
又∵NC1面BNC1,∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C,
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证法二:取BC1中点E,连结DE、ME.
在ΔBCC1中,D、E分别是BC、BC1的中点,∴DE,
又AA1CC1,∴DE.∵M是AA1的中点(由AM=MA1知),∴DEAM.
∴AMED是平行四边形.∴ADME.
由(1)知AD⊥面BB1C1C.∴ME⊥侧面BB1C1C.
又∵ME面BMC1,∴面BMC1⊥侧面BB1C1C.
(3)结论是肯定的,充分性已由(2)证明.下面仅证明必要性(即由截面BMC1⊥侧面BB1C1C.推出AM=MA1,实质证明M是AA1的中点.)
过M作ME1⊥BC1于E1.∵截面BMC1⊥侧面BB1C1C,交线为BC1.
∴ME1⊥侧面BB1C1C.
又由(1)知⊥侧面BB1C1C.
因为同垂直于一个平面的两条直线平行,∴AD∥MB1.
∴M、E1、D、A四点共面.
又∵AM∥侧面BB1C1C,面AME1D面BB1C1C=DE1,
∴由线面平行的性质定理可知AM∥DE1,又AD∥ME1,
∴四边形AME1D是平行四边形.∴AD=ME1,DE1AM.
又∵AM∥CC1,∴DE1∥CC1.又∵D是BC中点,∴E1是BC1中点.
.
题型二:空间的角
例4、四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.
(Ⅰ)证明:SA⊥BC;
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小;
解法一:
(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,,得,.
△SAB的面积.
连结DB,得△DAB的面积.
设D到平面SAB的距离为h,由于,得
,解得.
设SD与平面SAB所成角为,则.
所以,直线SD与平面SAB所成的角为.
解法二:
(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以SO=BO.
又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.
如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O—xyz,,,,,,,,所以.
(Ⅱ)取AB中点E,,
连结SE,取SE中点G,连结OG,.
,,.
,,OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直.
所以OG⊥平面SAB,与的夹角记为α,SD与平面SAB所成的角记为β,则α与β互余.
,.
,,
所以,直线SD与平面SAB所成的角为.
例5、如图,在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,PA=4,AD=2,,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角A—PC—D的大小;
解法一:
(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,平面ABCD.∴BD⊥PA.
又,.
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.
又.∴BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)过E作EF⊥PC,垂足为F,连接DF.
∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF,为二面角A—PC—D的平面角.
又∠DAC=90°-∠BAC=30°,
∴DE=ADsin∠DAC=1,
,
又,,.
由Rt△EFC∽Rt△PAC得.
在Rt△EFD中,,.
∴二面角A—PC—D的大小为.
解法二:(Ⅰ)如图,建立坐标系,
则A(0,0,0),,,D(0,2,0),P(0,0,4),
,,,
,.∴BD⊥AP,BD⊥AC,
又,∴BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)设平面的法向量为,
则,,
又,,
解得
平面的法向量取为,
,.
∴二面角A—PC—D的大小为.
题型三:空间距离
例6、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=AD=a,∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.
(1)求异面直线AD与PC间的距离;
(2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为.
解:
(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC,从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.
过A作AE⊥PB,又AE⊥BC,∴AE⊥平面PBC,AE为所求.
在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=a,∴AE=a.
(2)作CM∥AB,由已知cos∠ADC=.
∴tan∠ADC=,即CM=DM.
∴ABCM为正方形,AC=a,PC=a.
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中,得AH=.
下面在AD上找一点F,使PC⊥CF.
取MD中点F,△ACM、△FCM均为等腰直角三角形.
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°.
∴FC⊥AC,即FC⊥PC,∴在AD上存在满足条件的点F.
题型四:多面体与球
例7、(07湖南卷) 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为( )
A. B.1
C. D.
解:
正方体对角线为球直径,所以,在过点E、F、O的球的大圆中,
由已知得d=,,所以EF=2r=.选D.
例8、设棱长为2R的立方体容器中装满水,先把半径为的球放入水中,然后再放入一球,使它淹没在水中,且使溢出的水最多,问这个球的半径应是多少?并计算放入二球后溢出的水量与容器容量之比.
解:
作出正方体的对角面,则在对角线的中点处,要使第二球放入后溢出水最多,则也在上,设小球半径为,则
所以放入二球后溢出的水量与容器容量之比为:.
题型五:几何体的展开与折叠
例9、正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长均为2,M为AA1中点,N为BC中点,则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.
解:(1)从侧面到N,如图(1)所示,沿棱柱的侧棱AA1剪开,并展开,
(1) (2)
则.
(2)从底面到N点,沿棱柱的AC、BC剪开,展开,如图(2)所示,
题型六:立体几何与解析几何的综合
例10、如图,所在的平面和四边形所在的平面垂直,且,,,,,则点在平面内的轨迹是( )
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
解:
由条件易得,且,,,可得,即,在平面内以所在的直线为轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则,,设点,则有,整理可得一个圆的方程,由于点不在直线上,故此轨迹为圆的部分.
例11、已知二面角的平面角为,、为垂足,且设、到棱的距离分别为,当变化时,点的轨迹是下列图形中的( )
解:
法一:P到的距离即为P到点的距离,则平面内的点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等,故P的轨迹是抛物线.故选D.
法二:设平面与棱交于,则在中;在中,,故有,点在双曲线的第一象限部分,故选D.
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