一、复习策略

　　直线与圆是解析几何的基础，也是高考对解析几何进行综合考查的重要组成部分之一，因为直线和圆是最简单基本的几何图形．研究直线和圆的思想与方法也是解析几何研究的基本思想与方法，同时也是后继学习的基础，所以直线和圆成为高考的必考内容．

　　命题的特点：1、本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程．基本概念重点考查(1)与直线方程特征值(主要指斜率、截距)有关的问题；(2)直线的平行和垂直的条件；(3)与距离有关的问题等．此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现．

　　2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现．

　　3、由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力．

　　4、本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大．

二、典例剖析

题型一：求直线的方程

例1、过点作直线，分别交轴、轴的正半轴于点，

(1)若的面积最小，试求直线的方程．

(2)当的值最小时，试求直线的方程．

分析一：

　　设出直线的点斜式方程，分别求出它在轴、轴的正半轴上的截距，将的面积表示为的函数，通过求该函数的最小值确定出相应的值．

　　(解法一)设直线的方程为，

　　令，得，故，

　　令，得，故，

　　由题意知，，所以，

　　∴的面积··，

　　∵，∴，从而，

　　当且仅当，即(舍去)时，，

　　所以，直线的方程为，即.

分析二：

　　由于的面积可以表示为在轴、轴上的截距乘积的绝对值的一半，所以可以用直线的截距式设出直线的方程．

　　(解法二)设直线的方程为，

　　∵点在直线上，

　　∴，即，∴，

　　∵，∴，

　　∴的面积

　　，

　　当且仅当，即(舍去)时，，

　　所以，直线的方程为，即.

　　(2)，，

　　，

　　当且仅当时取等号，

　　故的最小值为4，此时直线为．

例2、过点作两条互相垂直的直线，分别交、的正半轴于、，若四边形的面积被直线平分，求直线方程．

分析：

　　命题有两种设方程的方案：①设、的点斜式方程，然后求出；②设的截距式方程，经过估算，应选第②方案更好．

解：

　　设方程为(a>0，b>0)．

　　∴、．

　　∵⊥，∴．

　　∵a>0，0<b<5，∵方程的一般式为．

　　∴到的距离．

　　∴的面积．

　　而的面积，

　　∵直线平分四边形的面积，∴，

　　可得

　　故所求方程为和．

题型二：两直线的位置关系

例3、设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c=0与直线bx－ysinB＋sinC=0的位置关系是（　）

A．平行　　　　　　　　　　　B．重合

C．垂直　　　　　　　　　　　D．相交但不垂直

思路分析：

　　显然已知的两条直线的斜率都存在，所以可以从它们的斜率的联系上来推断.

　　解法一：由已知，两直线的斜率分别为，.

　　由正弦定理知：.∴两直线垂直，故应选C．

　　解法二：∵直线A1x＋B1y＋C1=0和A2x＋B2y＋C2=0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2=0，而bsinA＋a(－sinB)=0，所以两直线垂直.故选C．

点评：

　　当两条直线l1、l2的方程分别为y=k1x＋b1和y=k2x＋b2(即它们的斜率都存在时)，可由k1，k2之间的具体值来判断它们的位置关系以及求夹角；当l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1=0和A2x＋B2y＋C2=0时，可由l1⊥l2 A1A2＋B1B2=0来判断它们是否垂直.

例4、(07浙江)直线关于直线对称的直线方程是（　）

A．　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　D．

解：

　　解法一：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x，y)，则它关于的对称点(2－x，y)在直线上，化简得，故选答案D．

　　解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线上选答案D．

题型三：线性规划及应用

例5、(06广东)在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（　）

A．　　　　　　　 　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　D．

解：

　　由，交点为，

　　(1)当时可行域是四边形OABC，此时，；

　　(2)当时可行域是△OAC′，此时，，故选D．

例6、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解：

　　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意知

　　目标函数z=x＋0.5y．

　　上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．

　　作直线，并作平行于直线的一组直线

　　与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和的交点．

　　解方程组得x=4，y=6．

　　此时(万元)．

　　，∴当x=4，y=6时z取得最大值．

答：

　　投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．

题型四：直线与圆的位置关系

例7、(07安徽)已知直线(是非零常数)与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（　）

A．60条　　　　　　　　　　　B．66条

C．72条　　　　　　　　　　　D．78条

解：

　　可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点(圆上点的对称性)，故满足题设的直线有52条．

　　综上可知满足题设的直线共有条，选A．

例8、已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1=0．求

　　(1)的最大值和最小值；

　　(2)y－x的最小值；

　　(3)x2＋y2的最大值和最小值．

解：(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1=0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆．

　　设=k，即y=kx，由圆心(2，0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3. 所以kmax=，kmin=－.

　　(也可由平面几何知识，有OC=2，CP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之) ．

　　(2)设y－x=b，则y=x＋b，仅当直线y=x＋b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=－2±，故(y－x)min=－2－.

　　(3)x2＋y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)min=｜OB｜2=(2－)2＝7－4，(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4．

例9、设数列{an}的前n项和Sn=na＋n(n－1)b，(n=1，2，…)，a、b是常数且b≠0．

　　(1)证明：{an}是等差数列．

　　(2)证明：以（an，－1）为坐标的点Pn(n=1，2，…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程．

　　(3)设a=1，b=，C是以(r，r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围．

　　(1)证明：由条件，得a1=S1=a，当n≥2时，

　　有an=Sn－Sn－1=［na＋n(n－1)b］－［(n－1)a＋(n－1)(n－2)b］=a＋2(n－1)b.

　　因此，当n≥2时，有an－an－1=［a＋2(n－1)b］－［a＋2(n－2)b］=2b.

　　所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列．

　　(2)证明：∵b≠0，对于n≥2，

　　有．

　　∴所有的点Pn(an，－1)(n=1，2，…)都落在通过P1(a，a－1)且以为斜率的直线上．此直线方程为y－(a－1)= (x－a)，即x－2y＋a－2=0．

　　(3)解：当a=1，b=时，Pn的坐标为(n，)，使P1(1，0)、P2(2，)、P3(3，1)都落在圆C外的条件是

　

由不等式①，得r≠1．

由不等式②，得r＜－或r＞＋．

由不等式③，得r＜4－或r＞4＋．

再注意到r＞0，1＜－＜4－<＋＜4＋．

　　故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1，－)∪(4＋，＋∞)．

题型五：轨迹的求法

例10、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（　）

　　A．圆　　　　　　　　　　　　　B．椭圆

　　C．双曲线的一支　　　　　　　　D．抛物线

解：

　　∵|PF1|＋|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|=|PF1|＋|PQ|=2a，即|F1Q|=2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．

答案：A

例11、(07天津)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,原点到直线的距离为．

　　(I)证明：；

　　(II)设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线垂足为求点的轨迹方程．

解：

　　(I)证法一：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有即解得从而得到

　　直线的方程为整理得

　　由题设，原点到直线的距离为即

　　将代入上式并化简得即

　　证法二：同证法一，得到点A的坐标为

　　过点作垂足为B，易知～故

　　由椭圆定义得又所以

　　解得而得即

　　(II)解法一：设点的坐标为当时，由知，

　　直线的斜率为所以直线的方程为或其中

　　点的坐标满足方程组

　　将①式代入②式，得

　　整理得

　　于是③

　　由①式得

　　④

　　由知将③式和④式代入得

　　将代入上式，整理得

　　当时，直线的方程为点的坐标满足方程组

所以

　　由知即解得

　　这时，点的坐标仍满足

　　综上，点的轨迹方程为

　　解法二：设点的坐标为直线的方程为由垂足为可知直线的方程为记(显然点的坐标满足方程组

　　

　　由①式得③

　　由②式得④将③式代入④式得

　　整理得

　　于是⑤

　　由①式得⑥

　　由②式得⑦

　　将⑥式代入⑦式得

　　整理得于是⑧

　　由知将⑤式和⑧式代入得

　　将代入上式，得

　　所以，点的轨迹方程为

点评：

　　求轨迹方程常用的方法有：定义法、直译法、相关点法、参数法、交轨法等，在解题时应注意根据题目的条件进行选取用．

小结：

　　直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义，它对直线的位置、点与直线、直线与直线、直线与圆的各种关系的研究十分重要，高考中重点考查运用上述知识解题的变通能力．在解答有关直线的问题时，要注意：

　　(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；

　　(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；

　　(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验不存在的情况，防止丢解；

　　(4)直线方程的三种形式各有适用范围，要能根据题中所给已知条件选用最恰当的表示形式，并能根据问题的需要灵活准确地进行互化，在求直线方程时，要注意需二个独立的条件才能确定．常用的方法是待定系数法；

　　(5)两直线的平行与垂直是现实生活中最常见到的两种特殊位置关系，故掌握它们的判断方法就显得非常重要，特别要提醒的是应把它们的判定和平面两向量共线与垂直的判定有机地结合在一起；

　　(6)在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．

　　(7)直线方程问题是“解析几何”的基础，学习时应注意积累下面两方面的经验：①正确选择各种直线方程解决各种问题；②通过直线方程问题的解题，逐步认识“解析几何”问题的解题思维策略，积累“方程”、“坐标”、“图形”的解题经验．

　　线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛．加强思想方法训练，培养综合能力．平面解析几何的核心是坐标法，它需要运用变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此在处理解析几何问题时，从知识到思想方法上都需要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系．

　　能够判断直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系，解决直线与圆的有关问题的基本方法是将直线和圆的方程组成的方程组通过消元，化成一元二次方程，然后灵活使用判别式或韦达定理解题；同时要善于利用直线和圆的几何知识解题．

　　直线与圆的位置关系是直线的一种重要应用，在高考中每年都有重点的考查，因此在复习时一定注意知识间的横向联系，以达到融汇贯通．

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