一、复习策略

动量变化量的计算

一条直线上的动量变化量的计算

一条直线上的动量变化量的计算分以下两种情况：

物体沿一条直线运动，方向不变：

选速度方向为正方向，有：

当

二、典型剖析

例1、质量为2kg的物体从静止开始以5m/s2加速度做匀加速直线运动，10s后撤去外力，物体做匀速直线运动，又经5s，物体开始做减速运动直到停止．分别求出各运动过程中的动量变化量．

解析：

设加速度的方向为正方向，在加速运动中有：

动量变化量为：

匀速运动中，速度不变，动量不变，故有

减速运动中，初速度为v，末速度为零．

则有：

②物体在一条直线运动，方向改变：

设初速度的方向为正方向，则有：

例2、质量为2kg的球，以5m/s的速度垂直撞击墙面，又以3m/s的速度反弹回来，试求此过程中球的动量变化量．

解析：设初速度的方向为正方向，则有：

1、曲线运动中的动量变化量的计算

例3、质量为2kg的小球，在水平面内，以10m/s的速率作半径为10cm的匀速圆周运动，如图所示，试求小球在AB、AC、AD过程中的动量变化量．

解析：在AB过程中，作矢量三角形如图①

　　　　　　　　　　　①　　　　　　　②　　　　　　　　　③

∵

方向与成45°角.

在AC过程中，设方向为正方向，如图②所示，则有：

方向与方向相同．

在AD过程中，作矢量三角形如图③所示，则有：

方向与成45°角．

2、动量守恒定律解题技巧

应用动量守恒定律解题的步聚：

(1)确定研究对象——系统；

(2)分析系统受力情况，判断是否符合动量守恒定律的条件；

(3)确定相互作用的始、末时刻及相应的动量；

(4)选正方向，以确定各动量的正负；

(5)分析始、末状态，由动量守恒定律列方程；

(6)求解并检验．

例4、A、B两船及船上的货物的质量和分别为1000kg和2000kg，A、B两船分别以2m/s与3m/s的速率分别向东与向西方向行驶，当两船头尾相齐时，同时交换50kg的货物，交换货物时货物的移动方向与船速度垂直，求交换货物后两船的速度各多大？

解析：

　　以甲船余下部分与乙船的50kg货物为系统，向东为正方向，则由动量守恒定律得：

∴ 950×2－50×3=1000v1

故=1.75m/s，方向向东．

以乙船余下部分与甲船的50kg的货物为系统，向西为正方向，由动量守恒定律得：

∴ 1950×3－50×2=2000

故= 2.975m/s，方向向西．

说明：

　　如何巧选动量守恒的系统，对运用动量守恒定律是极为重要的，本题的选择方法，使系统内的两部分在作用以后具有相同的速度，只有一个未知量，这样可直接运用方程求解．动量是矢量，在运用动量守恒定律时．对同一个系统内的两个部分，必须以同一个方向为正方向，如第一个方向以向东为正方向，但对两个系统却不要求以同一方向为正方向，如第二个方向以向西为正方向。

3、弹性碰撞问题的分析方法

　　弹性碰撞指碰撞过程中不但系统的总动量守恒，而且碰撞前后的动能相等．

　　如两个物体弹性碰撞前的速度分别为v1、v2，弹性碰撞后的速度分别为、，则有：

　　动量守恒：　　①

　　动能相等：　　②

　　由①②两式得：　　③

　　由①、③两式可以非常方便地求出碰后两物体的速度．

例5、如图所示，质量为m1的小球1从光滑曲线滑下，进入水平面后与质量为m2的小球2弹性正碰．碰后它们的落点到离水平面边缘的水平距离分别为s1和s2．试就(1)s1︰s2=1︰2；(2)s1︰s2=1︰3；(3)s1︰s2=3︰1；讨论m1与m2的关系．

解析：

　　设小球1碰前的速度为v0，碰后小球1、2的速度分别为v1、v2．碰撞前后系统的总动量守恒，且总动能相等，则有：

　　①

　　②

由①②两式得：　　③

由①③两式得：　　④

　　⑤

讨论：

设v0方向为正方向，则v2>0．若m1>m2，则v1>0．比较④⑤两式可知：。

若即质量相等的两物体发生弹性碰撞后，它们的速度交换．

若m1<m2，则v1<0，即小球1反弹，比较|v1|与v2的大小．

若|v1|=v2，可得：

若|v1|>v2，可得：

若|v1|<v2，可得：

　　综上所述，本题碰后两球的速度关系取决于它的质量关系，其中m1=m2时两球速度交换是个界限，它决定着v1的方向为正还是为负．只有当m1<m2时，入射小球1反弹，它的速度大小才有|v1|≥v2的可能．这里决定|v1|与v2大小的界限是

　　有了上述清晰的图景，再分析本题就有了依据．由于两球都将从平台上作平抛运动，它们落地所用的时间相同，故两球位移大小之比为|v1|︰v2．

(1)当s1︰s2 =1︰2，表明

即：　　∴m1︰m2=1︰2

(2)当s1︰s2 =1︰3，有两种可能：

当有：　　即：

∴m1︰m2=3︰1

当有：　　即：

∴ m1︰m2=3︰5

(3)当s1︰s2 =3︰1时，只能是m1<m2，且v1<0，有：

即：　　∴ m1︰m2=1︰5.

4、求变力做功的几种方法

　　(1)将变力做功转化为恒力做功

　　我们知道变力做功不能直接用公式来计算，但在某些特殊情况下，将变力做功转换成恒力做功，就可以用求功公式直接求解．

例6、如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为，已知图中滑轮顶部的高度是h，求绳的拉力T对物体做的功，假定绳的质量，滑轮的质量与滑轮间的摩擦不计．

解析：

　　设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T，由于T在对物体做功的过程中，大小不变，但T的方向时刻在改变，因此上述问题是个变力做功问题．但在绳的质量、滑轮的质量及滑轮与绳的摩擦不计的情况下，人对绳的拉力F对绳做的功就等于绳的拉力T对物体做的功．而F的大小与方向都不变，因此，只要计算恒力F对绳做的功，就能解决问题．

　　设绳的拉力T对物体做的功为WT，人的拉力F对绳做的功为WF，由图可知，在绳与水平夹角由变到的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：

　　由可知： .

　　(2)用动能定理求解变力所做的功

　　如果我们所要研究的对象所受的一个或几个力中，只有一个变力，而其余都是恒力，而且这些恒力的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．

例7、质量m=1kg的物体，从轨道的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h=0.8m，如图所示．如果物体在B点的速度为2m/s，求物体在轨道AB上克服摩擦力所做的功．

解析：

　　物体由A到B过程中，共受三个力作用：重力mg、支持力N、摩擦力f，由于轨道是弯曲的，轨道对物体的支持力是一个变力，摩擦力也是一个变力，但支持力N不做功．只有重力和摩擦力做功，由动能定理得：

　　故物体在轨道上滑下时克服摩擦阻力所做的功为5.84J．

　　(3)用机械能守恒定律求变力做的功

　　如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力和弹力做功时，则W外是重力和弹力做功的总和，动能定理就转化成机械能守恒定律．如果重力和弹力中有一个力是变力时，要求这个变力做的功，则可用机械能守恒定律求解．

例8、如图所示，质量为m=2kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平位置A，使弹簧无形变由静止释放，小球到达距O点下方h=0.5m处的B点的速度为2m/s．求小球从A到B的过程中弹簧弹力做的功．

解析：

　　小球在运动过程中，只受重力和弹力作用，故系统机械能守恒．以B点为重力势能零势面，A点为弹性势能零势面，则在初态A有：

　　对末态B有：

　　由机械能守恒定律得：E1=E2

因弹性势能增加，故弹力做负功．

因此，小球从A到B的过程中，弹簧弹力做的功为－6J．

　　(4)用功能原理求变力所做的功

　　功能原理的内容是：系统所受的外力和内力(除重力、弹力外)所做的功的代数和等于系统的机械能的增量．如果这些力中，只有一个变力做功，就可用功能原理求变力所做的功．

例9、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳子PQ提升井中质量为m的物体，如图所示．绳的P端拴在车的挂钩上，Q端拴在物体上，设绳的伸长、绳的质量、定滑轮的质量、滑轮上的摩擦忽略不计．开始时车在A点，左、右两侧绳都已绷紧，并且是竖直的，左侧绳长为H，提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车在B点时的速度为vB，求车由A到B的过程中，Q端绳子的拉力对物体所做的功．

解析：

　　Q端绳子对物体的拉力等于汽车对P端绳子的拉力，这个力是变力，故本题是变力做功问题，可用功能原理求解．

　　设绳的P端到达B处时，左边绳与水平地面所成的夹角为θ，物体从井底上升的高度为h，速度为v，所求的功为W，则由功能原理有：

　　因绳的总长不变，故有：

　　沿车速vB分解成垂直于绳的速度v1和沿绳的方向的速度v2，则有：

又即

故有：

故Q端绳子对物体做的功为

　　(5)利用求变力所做的功

例10、一辆汽车的质量为105kg，该车从静止开始以恒定功率行驶，经过40s，前进40m，速度达到最大值．如果车受的阻力始终是车重的0.05倍，问车的最大速度是多少？

解析：

　　汽车在运动过程中，功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值．汽车所受阻力是恒力，牵引力是变力．牵引力做功不能直接用公式来求解，但可用公式W=P·t来求解．因为汽车达到最大速度时牵引力等于阻力，故有：

　　牵引力的功为：

　　设阻力f做的功为Wf，由动能定理得：

即：

将：代入上式得：

故此汽车的最大速度为20m/s．

　　(6)用数列求和公式求变力所做的功

例11、把一根长木桩打入泥土中，已知木桩在泥土中遇到的阻力与木桩进入泥土中的深度成正比，比例系数为k．把木桩等分成n段，将第一段打入泥土中时，给予木桩的能量为E，求把木桩的第n段打入泥土中和将整个木桩打入泥土中时，给予木桩的能量分别是多少？

解析：

　　木桩所受阻力f与木桩进入泥土中的深度x之间的关系为：

　　在把木桩打入泥土中时，要克服泥土的阻力做功，而阻力f是变力，因此本题属于变力做功的问题．

　　只要知道了木桩克服阻力做了多少功，由动能定理就可以知道需要给予木桩的能量．下面我们就用等差数列求和公式来求阻力f在木桩进入泥土过程中所做的功．

　　函数f =－kx的图象如图所示，图中OA同x轴及f轴的平行线所围成的面积就是阻力f所做的功．

　　设木桩全长为nL，木桩n段进入泥土过程中，阻力f所做的功可分别用△OA1B1的面积S1、梯形B1A1A2B2的面积S2、梯形B2A2A3B3的面积S3……梯形Bn－1An－1AnBn的面积Sn来表示.

　　从图中不难看出：S1、S2、S3……Sn的大小是一个等差数列，其公差为：

　　d=平行四边形B1A1A2C的的面积，而△OA1B1的面积是将木桩的第一段打入泥土中时阻力所做的功，显然这个功是负值，故有：

　　由等差数列的通项公式可知，将木桩的第n段打入泥土中阻力f所做的功为：

　　故将木桩的第n段打入泥土中必须给予木桩的能量为：

　　再由数列求和公式可知，将木桩全部打入泥土中阻力所做的功为：

　　

　　故将木桩全部打入泥土中必须给予木桩的总能量为：

　　(7)用图象求变力所做的功

例12、用锤子把铁钉钉入木块中，设每次打击时，锤子给予铁钉的动能都相同，铁钉进入木块所受阻力跟钉入的深度成正比．如果钉子第一次被击入木块的深度为2cm，求第二次打击后可再进入的深度．

解析：

　　钉子进入木块所受的阻力f跟钉子进入木块的深度x间的大小关系为：f=kx

　　钉子得到锤子给予的动能，克服木块的阻力而做功，因阻力是变力，在钉子进入木块的过程中，阻力做功的过程是变力做功的问题．

　　作出f=kx的图象如图所示．第一次钉子克服阻力所做的功等于OA线下三角形的面积W1，第二次钉子克服阻力所做的功为AB线下面的梯形面积W2，因为每次打击时给予钉子动能都相等．故有W1=W2

　　设第二次打击后，钉子再进入的深度为x，由图可知：△OAC∽△OBD

　　故由相似三角形的性质可知

即：

故在第二次打击后，钉子再进入木块的深度为

5、动能定理的应用

例13、总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，撤去牵引力．设运动的阻力与重力成正比，机车的牵引力是恒定的．当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

解析：

　　机车和车厢运动过程如图所示．对机车和车厢分别用动能定理得：

机车脱钩后全过程：　　①

车厢脱钩后，有：　　②

机车原来匀速行驶时有：　　③

由图可知：　　④

由①②③④式解得：

6、机械能守恒定律及其应用

例14、如图所示，质量为m1和m2的物体A、B通过定滑轮连接，A放在光滑水平面上，且m1>m2，B由静止开始下落．下落过程中绳始终拉紧，A在水平面上向右运动．当B下落h高度时，拉A的绳子与水平方向成θ角．若不计绳的质量和滑轮的摩擦．求此时B的速度．

解析：

　　取A、B这个系统及地球—起为研究对象，在整个过程中只有重力对系统做功，所以系统的机械能守恒．

　　设B下落h时速度为v2，那么此时A的速度为：(想一想，为什么)

　　由机械能守恒定律得：

　　即：

　　∴

7、动量与能量综合问题的分析方法

例15、如图所示，在光滑水平地面上有一辆质量为M的小车，车上装有一个半径为R的光滑圆环．一个质量为m的小滑块从跟车面等高的平台以v0的初速度滑入圆环．试问：小滑块的初速度v0满足什么条件时，才能使它运动到环顶时恰好对环顶无压力？

解析：

　　滑块滑到圆环的最高点恰对环顶无压力时，应有：

　　　①

　　式中v是滑块相对圆心O点的线速度，方向向左．

　　设小车此时的速度为v1，并以该速度为正方向，则滑块对地的速度为对滑块和小车组成的系统，由于水平方向所受合外力为零，由动量守恒定律得：

　　　②

　　由滑块和小车组成的系统机械能守恒得：

　　　③

　　由①②③式联立解得：

说明：公式中的v是相对圆心O的线速度，而本题中的圆心是以v1向右运动的，所以滑块对地的速度为v－v1．

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