一、重难点分析

1、带电粒子在电场中运动

　　在本要点上，高考命题涉及的电场有匀强电场，也有非匀强电场和交变电场，涉及的知识既有电场知识，也有力学中的有关知识．

　　带电粒子在电场中的运动可分为三类：第一类为平衡问题；第二类为直线运动问题；第三类为偏转问题，解题的基本思路是：首先对带电粒子进行受力分析，再弄清运动过程和运动性质，最后确定采用解题的观点（力的观点、能的观点、动量观点）．平衡问题运用物体的平衡条件；直线运动问题运用运动学公式、牛顿运动定律、动量关系及能量关系；偏转问题运用运动的合成和分解，以及运动学中的平抛运动规律等．

2、带电粒子在磁场中运动

　　洛仑兹力作用下的圆周运动是高考热点之一．

　　（1）洛仑兹力的特点：对运动电荷不做功，只改变电荷的运动方向，不改变电荷运动速度的大小．

　　（2）匀速直线运动：带电粒子（不计重力）沿与磁感线平行方向进入匀强磁场，不受洛仑兹力作用做匀速直线运动．

　　（3）匀速圆周运动：带电粒子（不计重力）以初速v，垂直磁感线进入匀强磁场，做匀速圆周运动．

　　①圆心确定：因为洛仑兹力总与速度垂直，指向圆心，所以画出粒子运动轨迹上任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的速度矢量的垂线，两垂线的交点即为圆心．

　　②半径的确定和计算：一般是利用几何知识通过解三角形的方法求得．

　　③在磁场中运动时间的确定：利用几何知识计算圆心角的大小，再由公式可求出时间

　　这类问题的难点有二：一为用几何知识确定运动轨迹的圆心和半径；另一为确定粒子运动轨迹范围或磁场范围．因此掌握确定轨迹圆心位置的基本方法和计算速度的偏向角、轨迹半径的回旋角和弦切角的定量关系是解题的关键，如图所示．在洛仑兹力作用下，一个做匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向运动还是沿逆时针方向运动，从A点运动到B点，均具有下述特点：

　　①轨迹圆心O总位于A、B两点洛仑兹力f的交点上，或AB弦的中垂线OO′与任一个f的交点上．

　　②粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）的两倍，即

3、带电粒子在复合场中运动

　　带电粒子在复合场中的运动，有匀速直线运动，有匀速圆周运动，也有一般的变速曲线运动，要会根据粒子受到的合外力F合与速度v的关系，确定粒子的运动性质，如粒子所受合外力为零，粒子做匀速直线运动；合外力充当向心力时，粒子做匀速圆周运动；其余情况，粒子做的是一般的变速曲线运动．处理带电粒子在复合场中的运动问题，采用的方法有三种：①力的观点（牛顿运动定律、运动学公式）；②能量观点（动能定理、能量守恒定律）；③动量观点（动量定理、动量守恒定律）．

二、典型例题

（一）带电体在电场中平衡问题的分析方法

例1、如图中，甲、乙两带电小球的质量均为m，所带电量分别q和－q．两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧．

（1）平衡时的可能位置是图中的哪一个（　）

（2）两根绝缘细线中张力大小为（　）

　　　A．

　　　B．

　　　C．

　　　D．

解析：

　　对带电体平衡的问题，着重掌握“整体法”和“隔离法”及平衡条件的应用．如果相互作用的有几个物体时，一般是“先整体后隔离”．

　　（1）先把两个小球看做一个整体．因为这个整体受到的外力为：竖直向下的重力2mg、水平向左的电场力qE （＋q受力）、水平向右的电场力qE（－q受力）、绳子1的拉力T1（方向未知）．但由平衡条件ΣFx=0和ΣFy=0可推知T1=2mg.

　　方向竖直向上．

　　隔离分析乙球的受力如图所示．向下的重力mg、水平向右的电场力qE、细线2的拉力T2、甲对乙的吸引力F引．

　　要使ΣFx=0，线2必须倾斜，故应选A．

　　（2）对整个用ΣFy=0得：T1=2mg

　　对乙球由平衡条件得：

∴

　　故应选D．

（二）磁场对电流作用问题的分析方法

　　在分析有关安培力的问题时，首先要确定好研究对象，然后进行受力分析，根据运动状态运用牛顿运动定律、运动学公式、动能定理等规律来解决问题．

例2、如图所示，导体杆ab的质量为m，电阻为R，放置在与水平面夹角为的倾斜金属导轨上．导轨间距为d，电阻不计．系统处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，电池内阻不计．问：

　　（1）若导轨光滑，电源电动势ε多大能使导体杆静止在导轨上？

　　（2）若杆与导轨之间的摩擦因数为，且不通电时，导体不能静止在导轨上，要使杆静止在导轨上，电池的电动势应多大？

解析：

　　（1）将图所示的立体空间图改画为图所示的侧视图，并对杆进行受力分析，由平衡条件得：

而：

由以上三式解得：.

　　（2）有两种可能性：一种是ε偏大，I偏大，F偏大．导体杆有上滑趋势．摩擦力f沿斜面向下，选沿斜面向上为正方向，根据平衡条件有：

由安培力公式得：

由以上两式联立解得：

　　另一种是ε偏小，I偏小，F偏小，导体杆有下滑趋势，摩擦力f沿斜面向下，同理得：

（三）带电体在电场中的运动

例3、一质量为m，带电量为＋q的小球．从距地面高为h处以一定的初速度水平抛出．在距抛出点水平距离为l处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，管口的上方距地面．为了使小球能无碰撞地通过管子，可在管子上方的整个区域里一个场强方向水平向左的匀强电场，如图所示，求：

（1）小球的初速度；

（2）电场强度E的大小；

（3）小球落地时的动能．

解析：

　　小球在电场中作曲线运动，落入管中作竖直下抛运动．根据运动独立性原理和力的独立性原理．小球在水平方向仅受电场力作用做匀减速运动；小球在竖直方向仅受重力作用做自由落体运动．欲使小球无碰撞地通过管子，小球运动至管口时水平分速度必为零．落地动能则可运用动能定理求出．

　　在水平方向：小球做匀减速运动，末速度为零，因此可得：

　　　　①

　　　　②

　　　　③

　　　　④

　　小球在电场中运动的时间可由竖直分运动求得：　⑤

　　由①②③④⑤式联立解得：

　　以抛出点为初状态，以落地点为末状态，运用动能定理得：

　　

　　∴

　　故而小球的初速度为电场强度为小球落地时的动能为mgh．

（四）带电粒子在磁场中运动

例4、如图所示，正、负电子垂直磁场方向，沿与边界成角的方向，射入匀强磁场中，求在磁场中的运动时间之比．

解析：

　　正电子逆时针方向运动，经过磁场的偏向角为

　　负电子顺时针方向运动，经过磁场的偏向角为

　　因为所以正、负电子在磁场中运动时间之比为

（五）带电粒子在叠加场的运动

例5、如图所示，两块水平放置的金属板长为L =1.40m，间距为d =30cm．两板间有B =1.25T、方向垂直纸面向里的匀强磁场和图示的脉动电压．当t=0时，质量m=2.00×10－15kg、电量q=1.00×10－10C的正粒子．以速度v0=4.00×103m/s从两板中央水平射入，不计重力，试分析：

①粒子在两板间如何运动？会不会碰到极板上？

②粒子在两扳间的运动时间是多少？

解析：

　　①内，粒子同时受到方向相反的电场力和洛仑兹力的作用，大小分别为：

　　f =Bqv=5×10－7N

　　因为F = f，所以粒子做匀速直线运动，相应的位移为

　　在10－4～2×10－4s内无电场，粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动．轨道半径为：

　　运动周期为

　　所以，粒子不会打到极板上，并在电场时间内，恰好在磁场中运动一周．当两板间又加上电压时，粒子又重复上述运动，轨迹如图所示．

　　②粒子在极板间匀速运动的总时间为：

　　而做匀速圆周运动的时间为：

　　所以，在两板间运动的总时间为：

　　在上述分析中，应用了等效思维和形象思维：将粒子的复杂运动等效为两个简单运动；利用轨迹图，形象、直观地反映了粒子在两极板间的运动及其所需的时间．

（六）力电综合问题分析方法

　　带电粒子在电场力、磁场力、重力、弹力和摩擦力作用下的运动，广泛地涉及力学和电磁学的基本概念、规律和方法；因此，不仅受力复杂，运动多变，综合性强，而且往往与临界问题和极值问题密切相关在分析和解答这类综合性问题时，除了熟练地掌握基本概念和基本规律之外，还要善于灵活地运用数学方法和科学思维方法．

例6、如图所示，在真空中同时存在着相互正交的匀强电场和匀强磁场，且电场方向竖直向下，有甲、乙两个带电颗粒，甲带负电、电量大小为q1，恰好静止于A点；乙也带负电，电量大小为q2，正在过A点的竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动；运动中甲与乙发生碰撞并粘在一起，试分析它们粘在一起后的运动．

解析：

　　碰撞前，甲静止，重力和电场力平衡；乙做匀速圆周运动，重力和电场力的合力必须为零（否则乙颗粒受到的合力不可能指向圆心），使乙做圆周运动的向心力就是洛仑兹力．甲与乙发生碰撞粘在一起后，重力电场力仍等值反向，在洛仑兹力作用下仍做匀速圆周运动．

　　先取乙为研究对象，设其运动速度为v，根据牛顿第二定律有

　　

　　研究甲、乙的碰撞过程，根据动量守恒定律有

　　

　　式中v′表示甲、乙粘在一起后的共同速度．

　　再选甲、乙粘在一起后的系统为研究对象，根据牛顿第二定律有

　　

　　以上三式联立解得二者粘在一起后做匀速圆周运动的轨道半径为.

例7、如图所示，相互垂直的匀强电场和匀强磁场，其电场强度和磁感应强度的大小分别为E和B．一个质量m、带正电为q的油滴，以水平速度v0从a点射入，经过一段时间后运动到b．试计算：

　　①油滴刚进入叠加场a点时的加速度．

　　②若到达b点时，偏离入射方向的距离为d，其速度是多大？

解析：

　　①油滴在a点受到竖直向下的电场力、重力和竖直向上的洛仑兹力的作用，然后向上偏转，所以加速度方向竖直向上，大小为

　　②从a到b，洛仑兹力不做功，电场力和重力均做负功，根据动能定理得

　　

　　解得到达b点的速度为.

例8、如图所示，竖直绝缘杆处于方向彼此垂直、电场强度和磁感应强度分别为E和B的匀强电、磁场中，一个质量为m、带正电为q的小球，从静止开始沿杆下滑，且与杆的摩擦因数为，试计算：

　　①小球速度多大时加速度最大，最大加速度是多少？

　　②小球下滑的最大速度是多少？

解析：

　　小球开始下滑后，在水平方向始终受到方向相反的电场力qE和洛仑兹力Bqv的作用．

　　①当Bqv<qE时，压力N水平向左，小球下滑加速度为

　　

　　由上式可知a随v增大而增大，即小球做加速度增大的加速运动．

　　当即速度增大到，摩擦力加速度最大，其最大值为：

　　②当N水平向右，小球下滑加速度为

　　.

　　由上式可知a随v增大而减小，即小球做加速度减小的加速运动．

　　当a=0时，速度达到最大值，这时有.

　　解得最大速度为.

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