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一、复习策略
1、曲线运动的特点
（1）质点(物体)的空间轨迹是曲线的运动称为曲线运动．
如图所示，小球用细线系住在水平面内做圆周运动，小球的轨迹是圆．物体在竖直平面内抛出后的轨迹，轨迹是抛物线．
以上物体运动的共同特征为轨迹是曲线，所以把这一类运动称为曲线运动．
（2）物体(质点)做曲线运动的速度方向
曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是轨迹上该点的切线方向．
（3）曲线一定是变速运动
速度是矢量，既有大小又有方向，不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表明速度发生变化。质点做曲线运动，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定变速运动，质点一定有加速度。
2、物体做曲线运动的条件
物体做直线运动和物体做曲线运动条件的讨论
(1) 当物体不受外力或所受合外力为零时，物体就做处于静止状态或匀速直线运动状态
(2) 当物体所受合外力不为零，且合外力与速度方向在一条直线上时，物体做变速直线运动；当合外力恒定时，物体做匀变速直线运动。其中当合外力方向与运动方向相同时，物体做加速直线运动，合外力方向与运动方向相反时，物体做减速直线。
物体做直线运动的条件是速度的方向和所受合外力的方向在一条直线上．
(3)当物体受到的合外力的方向和初速度的方向不在一条直线上时，物体做曲线运动,物体除了有初速度外还要受力的作用．根据牛顿第二定律F=ma得，物体做曲线运动时的加速度就一定不为零．这一点也可以从曲线运动的瞬时速度的方向不断变化得到．速度是矢量，只要物体的速度方向发生变化，速度的变化就不为零，速度的变化不为零，物体的加速度就不为零．
受力情况与初速度 |
运动性质 |
F合＝0，初速度v0＝0或v0≠0 |
静止或匀速直线运动 |
F合恒定,且方向与运动方向在一条直线上 |
F合方向与v0相同 |
匀加速直线运动 |
F合方向与v0相反 |
匀减速直线运动 |
F合方向与v0不在一条直线上 |
曲线运动 |
注意点: 物体做曲线运动时是否一定受变力作用．如平抛出后，物体仅受重力(恒力)作用，做曲线运动，因此物体受恒力作用能做曲线运动．物体受变力作用是否一定作曲线运动?如果力的方向和初速度的方向在一直线上，即使力的大小在不断变化，物体的轨迹仍在一直线上，是直线运动．
3、运动的合成与分解
是一种研究复杂运动的基本方法——将复杂运动分解为两个方向上的，规律能为我们掌握的运动，从而使我们通过运动合成得到复杂运动的情况。
（1）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成.包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则.
（2）求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，它是运动合成的逆过程。解题时应按实际运动的实际效果分解或正交分解。
（3）合运动轨迹与分运动轨迹的关系
①两个分运动在同一直线上时．一个初速为v0的匀速运动和一个静止开始的以大小为a的匀加速(匀减速)运动．如：
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分运动一 |
分运动二 |
合运动 |
速度 |
v0 |
±a t |
v0±a t |
位移 |
v0t |
± |
v0t± |
加速度 |
0 |
±a |
±a |
当a与v0方向相同时，a前取“＋”；当a与 方向相反时，a前取“—”，合运动为初速不为零的匀加速(匀减速)运动。这一类运动的合运动的轨迹是直线．
②两个分运动不在同一直线上的情况．
若两个分运动分别是匀速运动时，其运动的方向为合速度的方向，其轨迹是直线．
若两个分运动分别是初速度为零的匀加速运动时，其运动的方向为合加速度的方向，运动的轨迹也是直线．（初速度为0，有恒定加速度，物体做直线运动）
若一个分运动为匀速运动，而另一个分运动为初速度为零的匀加速运动时，合速度与合加速度不在一条直线上，由曲线运动的条件可知，物体的运动方向会不断改变，是曲线运动．
如质点的初速度为v0，受到与v0方向的夹角为θ的合力作用，产生的加速度为a，经过时间t，速度为at，其合速度根据平行四边形法则得到．如图所示，由于v0不变，显然在不同时刻，合速度与v0方向的夹角不同．
 
若两个分运动都是匀加速运动时,当两个分运动的合速度和合加速度在同一直线上时，合运动才是直线运动；当两个分运动的合速度和合加速度不在同一直线上时，合运动是曲线运动.
4、平抛物体运动的特点
首先弄清平抛物体运动的两个要素：(1)只受重力作用.(2)初速度沿水平方向，它决定着平抛运动如何分解.
(1)运动轨迹：是一条抛物线。
(2)运动性质：因为仅受重力作用，具有大小、方向都不变的重力加速度g，加速度为恒量，是一个匀变速运动。
(3)处理平抛运动的一般方法及依据：处理这个运动的基本思想方法即运动合成与分解，将平抛运动看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动的合运动。之所以能这样处理，基于一个课本上指出的实验事实：水平方向运动的存在，并未影响竖直方向自由下落的规律；而后者的存在也不影响前者的运动规律。两个分运动独立进行互不干扰的这个道理叫运动独立性原理，它是能把一个复杂运动看作几个独立分运动的合成的依据。
5、平抛运动的规律
平抛运动的有关公式：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t:
①速度
分速度vx＝v0，vy＝gt，
合速度
 ，θ为合速度v与x轴的夹角，
可以看出，做平抛运动的物体，其速度的大小和方向都随时间而变化.
②位移
分位移x＝v0t y＝ gt2，
合位移
 ， 为合位移s与x轴的夹角，
可以看出，做平抛运动的物体，其位移的大小和方向都随时间而变化.
tgθ＝2tg
③平抛运动的轨迹：由x＝v0t与y＝ gt2可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线，轨迹方程为y＝
④飞行时间： (运动时间由高度h惟一决定)
运动时间和射程：水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性.
⑤水平射程： （由v0、t共同决定）
6、匀速圆周运动
（1）定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
（2）描述圆周运动的物理量：
①线速度：
线速度的大小等于质点做匀速圆周运动时通过的弧长跟通过这段弧长所用时间的比值。
线速度的方向就是在圆周该点的切线方向上。
线速度的定义与速度的定义，从字面上看似乎是不同的，实质上并没有差别，因为圆周运动中线速度的概念是瞬时速度的概念。在匀速圆周运动中，速度的大小不变，平均速率与瞬时速率相等，那么，弧长与对应时间的比值，在数值上就反映了瞬时速度的大小。
②角速度：
角速度的定义为：连接运动物体和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比，叫做匀速圆周运动的角速度。
在国际单位中，角速度的单位是弧度每秒，符号是 。
③周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
周期的倒数叫做频率。对匀速圆周运动来说，频率就是1秒钟里转过的圈数。
匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数叫转速。当转速的单位为 时，它和角速度的关系为 ；当转速的单位为 时，它和角速度的关系为 。
三个量的关系  
要特别指出的是，只有角速度以 为单位时，才有 的关系。
思考：物体做匀速圆周运动时，v、ω、T是否改变？(ω、T不变，v大小不变、方向变。)
（3）匀速圆周运动是一种变速运动。
匀速圆周运动是匀速运动呢？还是变速运动？教材已做了回答。对这个问题的理解首先要明确：速度是矢量，它是既有大小又有方向的物理量。速度大小随时间变化的运动是变速运动；速度方向随时间变化的运动也是变速运动。其次要明确：做曲线运动的物体在某一时刻的速度方向是物体在该时刻所在位置的轨迹的切线方向，由此可知，做匀速圆周运动的物体，它的速度方向时刻在改变。
匀速圆周运动是一种变速运动，它是均匀速率圆周运动的简称。
线的一端系一小球，使小球在水平桌面上做匀速圆周运动。
观察并思考：
①小球受力？
②线的拉力方向有何特点？
③一旦线断或松手，结果如何？
概括：要使物体做匀速圆周运动，必须使物体受到与速度方向垂直而指向圆心的力作用，故取名为向心力。
7、向心力
向心力的方向总是与物体运动的方向垂直，总是沿着半径指向圆心。向心力的作用只是改变速度的方向，不改变速度的大小。
向心力的大小为 或
8、向心加速度
定义：做圆周运动的物体，在向心力的作用下产生的指向圆心的加速度，叫做向心加速度。
意义：描述线速度的方向改变的快慢。
向心加速度的大小为 或
向心力的方向总是与物体运动的方向垂直，总是沿着半径指向圆心。所以加速度的方向也是时刻沿半径指向圆心的，这里特别要注意，向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
对于做匀速圆周运动物体，它所受的向心力大小恒定，方向时刻指向圆心。
9、开普勒三定律
（1）所有的行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
（2）任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
行星在轨道上的不同位置距离该焦点距离不同，即距太阳的距离不同，距太阳最近的位置称近日点，距太阳最远的位置称远日点，无论是近日点还是远日点，其速度方向都垂直于行星与太阳的连线．由开普勒第二定律可知：行星在近日点速度较大，在远日点速度较小，行星从近日点到远日点的过程是行星减速的过程，而从远日点到近日点的过程是行星加速的过程．
（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即R3/T2=k
若将行星的轨道看作圆，则r为圆的半径；另外，该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．如对于绕地球运行的卫星来说，它们的k值相同，与卫星无关。
10、万有引力定律
（1）万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
G＝6.67×10－11N·m2/kg2（万有引力常量是英国物理学家卡文迪许首先测量出的）
（2）说明：一切物体间均存在万有引力，但用公式 来计算万有引力时，却要注意它的适用条件。
①严格地讲，万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用．当两个物体间的距离比物体本身的尺寸大得多时，两物体可视为质点，可用公式近似计算两物体间的万有引力．
②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用万有引力定律的公式来计算，式中的r是两个球体球心间的距离．
③一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用公式 计算，式中r是球体球心到质点的距离．
11、万有引力定律在天体计算中的应用。
把各种天体的运动看作是匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，万有引力提供向心力。
即：
(1) 计算天体的质量：通过围绕天体运动的卫星的周期，可以求出天体的质量。
因为 
例如知地球围绕太阳运转的周期为1年，和太阳与地球之间的距离可以算出太阳的质量：M ＝1.96×1030kg，知道月球围绕地球运动的周期27天和月球到地球间的距离，计算出地球的质量：M地＝5.98×1024 kg
(2) 计算天体的密度：由 可求天体密度
12、地球上物体的重力。
(1) 物体与地球的引力 方向指向地心．
(2) 由于地球上的物体随地球一起自转，因此引力产生的一个效果是提供物体作圆周运动的向心力，方向指向地轴与纬度平面的交点，即轨道的圆心，万有引力产生的另一个效果就是物体的重力mg,方向竖直向下如下图所示。
(3) 重力随地理位置的变化：物体因所处的地理位置不同，而线速度不同，需要的向心力也不同，物体在赤道上所需要的向心力最大，两极处向心力最小而为零，因此重力在赤道上最小，在两极最大，并等于万有引力。重力随纬度的增大而增大同一纬度处同一物体的重力相同。
在赤道处，物体的万有引力分解为两个同方向的力，即重力mg和向心力F，则有
但是由于地球自转的角速度很小，
所以在一般情况下进行计算时认为：
(4) 重力与离地高度的关系
当物体在高空时可忽略地球自转的，重力跟万有引力相等，在地面上 在离地面高h的高处  ，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时这个因素不可忽略。
13、卫星的线速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的万有引力提供向心力，并且地球球心一定在人造地球卫星的轨道平面内，且为人造地球卫星的轨道中心，在解决有关问题时，都要用到此条件。
根据万有引力公式和牛顿第二定律：
(1)由 得
可见 ，r越大，v越小
(2) 由 得
可见 ，r越大，ω越小
(3) 由 得
可见 ，r越大，T越大
在线速度、角速度、周期和轨道半径四个物理量中，当一个量发生变化时，另外三个量一定同时变化．
14、宇宙速度
第一宇宙速度：环绕地球表面做匀速圆周运动的速度，大小是7.9km/s．
由牛顿第二定律： 
又∵在地球表面附近的物体所受的重力近似等于万有引力。
  ∴ ＝7.9km/s．
注意：只有卫星在地球表面附近做圆周运动，轨道半径r才等于地球半径R，此式才能成立，否别没有此关系式。说明：这个速度是卫星环绕地球作圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度，这个速度叫做第一宇宙速度或环烧速度。
第二宇宙速度：能脱离地球引力不再绕地球运动的速度，大小是11.2 km/s．
若卫星的速度大于7.9km/s,卫星的轨道是椭圆，当速度达到11.2 km/s时，卫星就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的一颗行星，因此把这个速度叫第二宇宙速度或脱离速度。
第三宇宙速度：能脱离太阳引力束缚的速度，大小是16.7 k m/s.
如果要挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系以外的空间去，必须使物体的速度大于16.7 k m/s，这个速度叫第三宇宙速度或逃逸速度。
15、人造卫星的发射速度和运行速度
人造卫星的发射速度和运行速度是不相同的，发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度．要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能贴着地面近地运行．若要使卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度．
所谓运行速度，是指卫星在进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．显然，人造卫星绕地球做匀速圆周运动的运行速度不会大于第一宇宙速度，更不会大于发射速度．人造卫星的发射速度与运行速度之间的关系为：
11.2 km/s＞v发射≥7.9 km/s＞v运行
16、地球同步卫星
地球同步卫星是相对地面静止、跟地球自转同步的卫星，卫星要与
地球自转同步，必须满足下列条件：
(1)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T=24 h.
(2)同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星均在赤道的正上方
(3)所有同步卫星的周期T，轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同
17、赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别
在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且二者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的半径R，因此，有些同学就把二者混为一谈，实际上二者有着非常显著的区别。
①地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一个分力是我们通常所说的物体所受的重力
（请同学思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。
②赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运动的周期应与地球自转的周期相同，即24h，当然也可由此计算出其线速度和角速度；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度.
它的周期可以由下式求出：
由 得 代入地球的半径R与质量M，可求出绕地球表面运行的卫星的运行周期T约为84min，此值远小于地球自转的周期。
二、典型剖析
例1、关于运动的合成与分解，下列说法正确的有（ ）
A．合速度的大小一定比每一个分速度大
B．两个直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
D．两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相同
解析：
A错．依矢量合成的思维方法容易做出判断．B错，两个分运动的性质未说清楚，可能一个是匀速运动，而另一个是初速度为零的匀加速运动，则合成的轨迹就不是直线．C正确，运动的方向是合速度的方向．D是根据合运动和分运动的定义做出的判断是正确的．
答案：CD
点拨：
以上一类概念问题要根据定义，理解题意和隐含条件，才能比较准确快速地作出判断．
例2、无风天下雨，雨滴落地速度v1＝4m/s，水平行驶的小车速度为v2＝3m/s，求雨滴相对小车的速度。
解析：
雨滴相对车的速度是雨滴速度 与小车反向速度 （车水平向前运动，雨滴相对车在水平方向向后运动）的合速度，如图所示。
方向为 
例3、如图所示，在与水平成α角的斜坡上的A点，以初速v0水平抛出一物体，物体落在同一坡上的B点，求：
（1）物体的飞行时间及A、B间距离；
（2）抛出后经多长时间物体离开斜面距离最大，最大距离多少？
解析：
求解平抛运动，按常规思路，应该将运动沿水平和竖直两个方向分解，但这种方法对（2）的解答极为不利，因为（2）中需要利用平行于斜面方向和垂直于斜面方向上的分运动．下面对（1）（2）两问分别用不同的分解方法求解．
（1）设AB间距离为Ｌ，由A到B时间为t，则
在水平方向有Lcosα=v0t在竖直方向有Lsinα= gt2
解得
（2）在垂直于斜面方向上，物体的运动类似于竖直上抛运动，其初速度为 ，加速度为 ，当物体离斜面距离最大时，垂直于斜面方向上的速度为0，故有 ；最大距离 .
例4、如图所示，两个皮带轮通过皮带传动（皮带不打滑），大轮半径是小轮半径的2倍，则两轮边缘上A、B两点的线速度 ，角速度 、周期 和频率 的关系为 ； ； ； .
解析：
由题意知 ，皮带不打滑，两轮边缘的线速度相等，即 .由 知， ，所以 。由 知， ， .由 知， ，所以 .
答案：1︰1，1︰2，2︰1，1︰2
例5、如图所示，在与一个质量为M，半径为R，密度均匀的球体距离为R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1．当从球M中挖去一个半径为R/2的小球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，则F1与F2的比值是多少？
解析：
F1为一个匀质实心球对质点的万有引力，可用万有引力定律的公式直接求得，其中r为匀质球球心到质点的距离．F2是一个不规则物体对质点的万有引力，但由于挖去部分为一匀质实心球，所以可先计算挖去部分对质点的万有引力，然后根据力的叠加原理用F1减去挖去部分的万有引力即可得F2．
当球是实心时，M对m的万有引力为
实球M的引力F1可看成两个力的叠加：剩下的部分对m的引力F2与半径为R/2的小球对m的引力 的和，即 ．
因为半径R/2的小球体的质量
故 ∴
小结：
万有引力定律的表达式适用于计算两质点之间的引力，若两物体不能看成质点时，应把物体进行分割，使每一小块的线度都小于两者间的距离，然后用叠加的方法求出引力的合力．需要说明的是对于两个均匀的球体来说，不管它们相距远近，万有引力定律的表达式都适用，表达式中的r是指两个球心间的距离．
例6、某人造卫星距地面高h米，地球半径为R，质量为M，地面重力加速度为g0，万有引力恒量为G.
(1)试分别用h、R、M、G表示卫星的周期T、线速度v、角速度ω；
(2)试分别用h、R、g0表示卫星周期T、线速度v、角速度ω。
解析：
（1）根据向心力来自万有引力，有
得  
（2）卫星在地球表面上受的万有引力近似等于 。
由（a）得的结果有
说明：
由该题可见，这类问题的关键在于紧紧抓住 ，并应熟记。
 
三、归纳总结
1、曲线运动的三个基本要点：
(1)曲线运动的速度方向时刻在改变，是一个变速运动。
(2)曲线运动轨迹上某一点（或某一时刻）的瞬时速度的方向，就在曲线这一点的切线方向上。
(3)做曲线运动要有一定的条件：物体所受合外力与它的速度夹成一定的角度。
2、对运动的合成和分解，要知道以下几点：
(1)它是研究复杂运动的一种基本方法——将复杂运动分解为两个方向上的，规律能为我们掌握的运动，从而使我们通过运动合成得到复杂运动的情况。
(2)运动合成在实际问题中体现为位移、速度、加速度等物理量的合成，因为这三个都是矢量，故合成的运算都服从矢量运算法则，运动合成、分解通常都用到平行四边形定则。
(3)运动的合成要注意同一性和同时性：只有同一物体的两个分运动才能合成；只有同时进行的两个运动才能合成，分运动和合运动同时发生，同时结束。
(4)互成角度的两个匀速直线运动的合运动也是匀速直线运动，其他情况则要具体分析：仅当两个分运动的合速度和合加速度在同一直线上时，合运动才是直线运动。
3、平抛运动的研究方法
平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
4、描述物体做圆周运动的物理量主要有三个，线速度v、角速度ω、周期T．这三个量的关系是  
5、卫星的线速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
  
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