冲刺练习
 



  
运动和力

一、重点难点

(一)判断静摩擦力的方向的四种方法

1、由相对滑动趋势直接判断

  因为静摩擦力的方向跟物体相对滑动趋势的方向相反,如果我们所研究的问题中,物体相对滑动的趋势很明显,就可以由相对滑动趋势直接判断。这是判断静摩擦力方向的基本方向。

例1、物体用力F压在竖直墙面上处于静止,如(1)图所示,试分析物体所受摩擦力的方向。

分析:物体相对墙面具有向下滑动的趋势,故物体所受静摩擦力的方向竖直向上。

2、用假设法判断

  所谓假设法就是假设接触面光滑,确定两物体的相对滑动趋势的方向,从而确定静摩擦力的方向。

例2、某同学骑着自行车前进,分析前进中的自行车的前、后轮受到地面对它的摩擦力的方向。

  先让学生分析讨论,后由老师归纳总结。

  结论:前轮受到向后的摩擦力,后轮受到向前的摩擦力。

  推广:汽车、火车牵引力的来源——地面对车轮的主动轮的摩擦力。

  许多静摩擦力的方向都可以用假设法来判断。

      

3、用平衡条件来判断

  有些物体间的相对滑动趋势不明显,用假设法也不易判断静摩擦力的方向,但如果物体处于平衡状态,则可由物体平衡条件来判断物体是否受静摩擦力及其方向。

①用共点力作用下物体的平衡条件判断

例3、如(1)图所示,A、B两物均静止在斜面上,试分析A、B两物所受静摩擦力。

        (1)        (2)        (3)

分析:

  物A受重力GA和B对A的支持力NBA以及B对A的静摩擦力fBA。因为物A保持静止,由物体平衡条件可知,fBA必须沿斜面向上,如图(2)所示。

  物B受重力GB,对B的支持力NB,A对B的压NAB,A对B的静摩擦力fAB和斜面对B的静摩擦力FB由牛顿第三定律可知:fAB与fBA方向相反,沿斜面向下,又因为物B也处于静止,由平衡条件可知:fB沿斜面上。如图(3)所示。

*②用力矩平衡条件来判断

  假定无静摩擦力,若物体所受其它力的力矩和等于零,则无摩擦力。若其它力的力矩和不等于零,则有摩擦力,其方向为:静摩擦力的力矩与其它力的力矩和反号。(即正、负号)。

例4、如下图(1)所示,A绳通过球的中心,B、C都不通过球的中心,试分析三种情况下球所受的静摩擦力。

   

        (1)                 (2)

分析:

  设转轴在重心处。对A显然力矩和为零,无静摩擦力。对B球的重力和绳的拉力两力的力矩和不为零,力矩和等于绳的拉力的力矩,方向逆时针。则静摩擦力力矩为顺时针,可确定墙对球的静摩擦力的方向竖直向上。同理可知:C球所受墙对它的静摩擦力方向竖直向下。

*③用一般物体平衡条件来判断

  若物体受非共点力作用下处于平衡状态,则合外力一定为零,即ΣFx=0,ΣFy=0。

例5、有三根相同的直棒,处于如图(1)中甲、乙、丙所示静止状态,试分析各棒是否受静摩擦力作用,其方向如何?

         (1)               (2)

分析:

  棒与地面间是否有相对滑动趋势很难判断,但棒处于平衡状态,故可用物体的平衡条件来确定是否受静摩擦力作用。如图(2)甲:棒受重力G,支持力N1,绳的拉力T1,均在竖直方向,由物体平衡条件可知,棒不受地面的静摩擦力作用。假如棒受静摩擦力作用,无论向左或向右,棒在水平方向上的合外力不为零,就不满足平衡条件。

  对图乙:棒受重力G,支持力N2均在竖直方向,但绳的拉力T2的方向斜向上,在水平方向上有向右的分力,由平衡条件可知:棒的水平方向上的合外力应为零,故棒一定受到一个向左的静摩擦力作用。

  同理,对丙分析可知:棒一定受到一个向右的静摩擦力作用。

4、由运动状态判断

  有些静摩擦力的方向与物体的运动状态紧密相关,因此只有由物体的运动状态来判断物体所受静摩擦力的方向。

例6、如图所示,一物体放在皮带运输机上由A运到D,且物体在AB段作加速运动,BC段作匀速运动,CD段作减速运动,试分析物体在各个阶段所受静摩擦力的方向。

分析:

  物体在竖直方向上受重力和支持力,且这两个力平衡。在水平方向有可能受静摩擦力作用,但静摩擦力的方向与物体的运动状态有关。

  在AB段:物体加速运动,故具有一个向前的加速度,由牛顿第二定律可知,物体在水平方向上受到一个向前的作用力,这个力就是皮带对物体的静摩擦力。

  同理,在CD段物体受到皮带对它向后的静摩擦力作用。

  许多静摩擦力的方向都与运动状态有关,因此这种方法有较广泛的作用。

  总之,只要掌握了上述四种判断静摩擦力方向的方法,就可以比较方便地判断各种情况下物体所受的静摩擦力的方向。

(二)求静摩擦力大小的几种方法

1、由物体平衡条件求解

例7、如图(1)所示,A、B两物体用力F压住紧贴在墙面上处于静止,且GA=100N,GB=50N,求A、B两物体所受的静摩擦力的大小。

      (1)               (2)

解:A、B两物体受力分析如图(2)所示,由ΣF=0,可知:

对B:fAB=GB=50N

对A:fA=fBA+GA

又∵fBA=fAB=50N.

∴fA=150N.

2、由牛顿第二定律求解

例8、质量为5千克、倾角为30°的斜体C放在粗糙的水平面上,质量为2千克的物体B放在斜面上,B与C之间的滑动摩擦因数μ为质量为1千克的物体A放在B上,A与B的接触面水平,当B在斜面上滑动时,C相对地面静止。A相对B静止,如图(1)所示,这时A、C所受的静摩擦力是多少?

(1)            (2)

解:

  以A、B整体为研究对象,受力分析如图(2)所示。由牛顿第二定律可知:

  

  再以A为研究对象,受力分析如图(3)所示,且A沿水平方向的加速度为acosα,故有

             (3)             (4)

  再以C为研究,受力分析如图(4)所示。由牛顿第三定律可知:

  

  因为C处于静止状态,水平方向合外力为零,故有:

  

答:

  A所受的静摩擦力为牛顿,方向水平向左;C所受的静摩擦力为牛顿,方向水平向左。

3、由向心力公式求解

例9、在以n=60转/分匀速转动的平台上,将一质量m=5千克的物体放在离转轴20厘米处相对平台保持静止,求物体所受的静摩擦力。

解:以物体为研究对象,物体受重力、支持力、摩擦力作用。

  由

4、静摩擦力问题的绝对值不等式解法

例10、重为G牛顿的物体放在倾角为θ的斜面上,物体和斜面间的静摩擦系数为μ0,要使物体静止在斜面上,如图(1)所示,作用在物体上的水平推力F应为多大?

     

(1)          (2)

解:

  依题意,物体的受力情况如图(2)所示,因物体静止在斜面上的充要条件是f≤fmax,而f或fmax的方向不定一,故物体静止在斜面上的充要条件可用下列不等式方程组表示出来,即:

  N-F·sinθ-G·cosθ=0  ①

  F·cosθ-G·sinθ-f=0  ②

  | f |≤fmax0N   ③

  将①②代入③得:

  | F·cosθ-G·sinθ|≤μ0(F·sinθ-G·sinθ)

  ∴-μ(F·sinθ-G·cosθ)≤F·cosθ-G·sinθ≤μ0(F·sinθ-G·cosθ)

  故有:≤F≤

  由此可知,用绝对值不等式解此类问题特别简捷。如分两种情况讨论,解题过程就比较繁琐。

  综上所述,只要掌握了静摩擦力方向的四种判断方法和静摩擦力大小的四种解法及不定问题绝对值不等式解法,有关静摩擦的一切问题都会迎刃而解了。

例:(06年北京19题)木块A、B分别重50N和60N,它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25,夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2cm,弹簧的劲度系数为400N/m,系统置于水平地面上静止不动,现用F=1N的水平拉力作用在木块B上,如图所示,力F作用后( )

A.木块A所受摩擦力大小是12.5N

B.木块A所受摩擦力大小是11.5N

C.木块B所受摩擦力大小是9N

D.木块B所受摩擦力大小是7N

答案:C

(三)整体法和隔离法

  先以整体为研究对象进行分析,再将其中某一物体进行隔离分析,可以较为方便地解决问题.

例1、在竖直墙壁和木板之间有三块完全相同的砖块,以水平压力F压紧木板使砖静止,如图(a)所示,若每块砖质量为m,问:

(1)第二块砖对第三块砖的摩擦力多大?

(2)若右边再增加一块砖,则第二块砖对第三块砖的摩擦力多大?

解析:

  (1)先以三块砖整体为研究对象,竖直方向受力如图(b)所示,由平衡条件有:

  2f =3mg

  ∴

  再以第三块砖为研究对象,竖直方向受力如图(c)所示,设砖2对砖3的摩擦力为f23,则有:

  ∴

  (2)以四块砖整体为研究对象,同理有:f = 2mg

  再以第三、四两块砖为研究对象,同理有:

例2、如图(1)所示,倾角为θ的斜面小车,始终相对地面静止,质量为m2和m3的两木块,通过细绳、定滑轮跨接在小车上,且m2以加速度a沿不光滑的斜面下滑,求地面对小车的摩擦力.

图(1)       图(2)

解析:

  以m1、m2、m3为整体进行受力分析,如图(2)所示,在水平方向上整体只受地面的摩擦力f,将m2的加速度分解成水平方向和竖直方向,有:

  因为m2在水平方向的加速度应由整体在水平方向上的合外力提供,所以有:

  

  故地面对小车的摩擦力为方向水平向左.

例4、如图(1)所示,A、B两物体的质量分别为m和M,A和B保持相对静止地沿倾角为θ的光滑斜面滑下,求A物体所受的各个力.

图(1)         图(2)

解析:

  A物体受到重力mg,方向竖直向下,还受到弹力N,方向竖直向上,如果贸然判断N=mg,那就错了.因为本题中A物体不是平衡状态,而是随B物体沿斜面匀加速下滑,根据牛顿第二定律,A物体所受的合力方向与加速度方向相同,可见,A物体还受到B对A的向左的静摩擦力f,如图(2)所示.

  先以A、B整体为研究对象,只受重力(M+m)g和斜面支持力N′,设整体沿斜面方向的加速度为a,则有:

  ∴

  将a正交分解为水平方向的ax和竖直方向的ay,则有:

  

  

  再以A为研究对象,受力如图(2)所示,由牛顿第二定律得:

  

  故A受三个力作用:重力mg,方向竖直向下;弹力方向竖直向上;摩擦力,方向水平向左.

例5、质量均为m的两个梯形木块A和B,紧挨着并排放在水平面上,在水平推力F作用下向右做加速运动,如图(1)所示,为使运动过程中,A和B之间不发生相对滑动,求推力F的大小.(不计一切摩擦力)

图(1)      图(2)

解析:

  先以A、B整体为研究对象,由牛顿第二定律F=2ma ①

  用隔离法分别对A、B进行受力分析,其受力如图(2)所示.

  因题意要求A和B之间不发生相对滑动,

  对A有:N cosθ≤mg   ②

      F-N sinθ= ma  ③

  对B有:Nsinθ=ma  ④

  由①②③④式解得:F≤2mgtanθ

  故F的大小应满足条件:0<F≤2mgtanθ

(四)巧选参照系求解运动学问题

  研究物体的运动,首先要选择一个恰当的参照系,虽说参照系的选择是任意的,且通常是选地面为参照系,但在有些问题中,恰当地选择参照系,可以简化问题,方便求解.

  选择参照系要掌握以下几个原则:

  (1)如果是纯运动学问题,参照系可以是静止的物体,也可以是匀速运动的物体,还可以是匀变速运动的物体.

  (2)研究对象相对于所选的参照系的运动,应该是可以认识的,并且,这个运动用我们所学过的运动规律是能够处理的.

  (3)选定新参照系后,所有的物理量(s、v0、vt、a等)都必须转换为相对新参照系的量,由运动学公式解出的量也是相对于新参照系的.总之,位移、初速、末速、加速度都只有相对于同一参照系才能在同一个运动学公式中运用.

例6、如图所示,ab、cd两杆长度均为L,b端和c端相距s,当悬挂ab杆的细线烧断的同时,cd杆以初速度v0竖直上抛,求:

(1)从开始运动到两杆相遇所用时间;

(2)从相遇到分开所用的时间.

解析:

  若选地面为参照系时,则ab做自由落体运动、cd做竖直上抛运动,求解较复杂.

  若选ab杆为参照系,则cd杆相对ab杆做匀速直线运动.

  (1)从开始运动到相遇时,相对走过距离s,由匀速运动公式可知,运动时间为:

  (2)从相遇到分开,相对走过距离为2L,同理可得运动时间为:

四、船渡河问题的分析方法

例7、一条宽为L的河,水流速度为v0,已知船在静水中的航速为v1,那么:

(1)怎样渡河时间最短;

(2)若v1> v2,怎么渡河船的位移最小;

(3)若v1< v2,怎样渡河船的位移最小.

解析:

  (1)如图1—20所示,设船头斜向上游与河岸成任意夹角θ,这时船速在y方向的速度分量为vy=v1sinθ,渡河所需的时间为:

  可以看出:在L、v1一定时,t随θ的增大而减小,当θ=90°时,sinθ= 1(最大).所以,船头与河岸垂直时,渡河时间最短,且为

  (2)如图1—21所示,渡河的最小位移即河的宽度.为了使渡河位移等于L,必须使船的合速度v的方向与河岸垂直,即使沿河岸方向的速度分量vx=0,这时船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ,根据三角函数关系有:v2-v1cosθ=0

  ∴

  ∵ 0≤cosθ≤1

  ∴只有在v2<v1时,船才有可能垂直河岸横渡.

  (3)如果水流速度v2大于船在静水中的航速v1,则不论船的航向如何,总要被水冲向下游.怎样才能使漂下的距离最短,即船渡河的位移s最小呢?如图1—22所示,设船头(v1)与河岸成θ角,合速度与河岸成角,可以看出:角越大,船漂下的距离x越小.船漂河的位移最小.那么,在什么条件下,角最大呢?以v2的矢尖为圆心,v1的大小为半径画圆,当v与的圆周相切时,角最大.由三函数关系得:

  故船头与河岸的夹角为:

  船漂下的距离为:

  船的最小位移为:

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