一、重难点分析

1．单摆的周期及等效单摆的周期

　　单摆的周期公式是惠更斯从实验中总结出来的．从公式也可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关，从另一个角度看，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，分力越大，加速度也越大，在相等的时间内走过的弧长也越长．所以周期与振幅、质量无关，只要摆长l重力加速度g定了，周期也就定了．在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定是9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．

　　（1）等效摆长：指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离；

　　（2）等效重力加速度：公式中的g由单摆所在的空间位置或者是单摆系统的运动状态决定，有时在复合场中由物理环境决定．一般情况下g′值等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值．

2、简谐运动及其图象

　　对简谐运动，要掌握简谐运动的运动分析、变力分析、能量分析、图象分析．简谐振动中各物理量（x，v，a，F，mV，T）的周期性变化特点，以及这些物理量的大小和方向存在的变化关系．要掌握简谐运动中的时间和空间的对应关系，如振动物体在一个周期时间内，通过的路程为4倍振幅．

　　振动图象反映的是一个质点的位移随时间的变化规律，由图象上可直接读出振幅、周期和任意时刻的运动方向．随着时间的推移，振动图象在原来基础上继续延伸，但原有图象保持不变，由于振动的周期性和非线性，在从任意时刻开始计时的周期或半周期内，质点运动的路程都相等，（分别为4A或2A），但从不同时刻开始计时的周期内，质点运动的路程是不相等的。

3、波的产生及波的图象的运用

　　机械振动在介质中的传播过程中叫机械波．产生的条件有两个：一是要有做机械振动的物体作为波源；二是要有能够传播机械振动的介质．机械波的特点是：（1）每一质点都以它的平衡位置为中心做简谐振动，后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动；（2）波只是传播运动形式及振动能量，介质并不随波迁移．

　　波动图象反映的是某一时刻波的传播方向及参与振动的一系列质点的位移情况，从图象上可直接读出振幅和波长，随着时间的推移，波形图象沿波速方向匀速移动，每隔一个周期移动一个波长的距离（外形上又恢复原来形状，好象是未移动一样），但就质点而言，只在各自的平衡位置两侧往复运动，并未随波迁移．

　　由于离波源远的质点的振动落后于离波源近的质点的振动，并想“追赶”离波源近的相邻质点，因此，在已知波的传播方向的情况下，可通过振动步调法或波形平移法判定某一质点的振动方向或进行相反的判断．

　　另外，由于波形周期性变化，波形向某方向移动和向相反方向移动，所得波形完全相同，故不能只根据两个不同时刻的波形图判定波的传播方向，还要结合给定时间内波传播的距离折合的波长数或给定时间内折合的周期数进行综合判断．

4．波长、波速和频率之间的关系

　　波的频率由波源决定，波速由介质决定．波长是指两个相邻的，在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离．它们三者之间的关系是：

5．摆钟走时快慢的分析方法

　　摆钟走时快慢的问题，是高中物理的难点之一，解决这个问题要注意以下两点：

　　①同一类摆钟，只要走时读数相同，摆锤摆动的次数就相等．但完成这个读数所用的时间却不一定相等．

　　②不准的摆钟快慢的原因．是其摆的振动周期小于或大于准确钟的周期．

　　具有机械结构的摆钟，都是由钟摆振动驱动与之相连的齿轮，再通过一系列传动装置使指针走动，从而给出示数的．

　　一个准确的摆钟，无论何时何地，在一昼夜之内，指针都应正好走过t0=24×3600s=86400s刻度数．

　　设一个走时不准确的摆钟，在一昼夜实际走过了t 刻度数，若t>t0，则摆钟走快；或t<t0，则摆钟走慢．

　　设想有一走时准确的摆钟，其摆长为L0，在重力加速度为g0的地方，振动周期为T0，在一昼夜内钟摆振动n0次，摆钟指针走过t0秒的刻度数；若将钟移至另一地点．相应的量分别为L、g、T、n和t；由单摆周期公式得：　①

　　在一定的时间内，例如一昼夜内有：可见摆钟的振动周期与摆动次数成反比，即：　②

　　根据摆钟机械结构，摆钟一昼夜内走过的秒刻度数应和振动次数成正比，即：

　　　③

由以上三式联立解得：　　④

讨论：当L=L0时，

当g=g0时，有：

二、典型例题

1．摆钟走时快慢的计算

例1、一昼夜快5min摆钟，应如何调整它的摆长才能走时准确？

解析：

　　指针原一昼夜走时t=86400＋5×60=86700s刻度数，调整后走过t0=86400s刻度数，原摆长为l，调整后的摆长为l0，本题g=g0，故有：

故当摆长增到原摆长的1.007倍时，该摆钟走时准确．

2、有关波的图象的几个问题的分析方法

　　（1）已知波形图和波的传播方向，确定某质点的振动方向．

例2、一列简谐横波向右传播，某时刻的波形图象如图所示，试确定P质点的振动方向．

解析：

　　如图所示，在质点P两侧附近各找一质点M、N．因该波向右传播，故M为先质点，N 为后质点．根据波传播的特点，后质点总要赶先质点，故P质点在该时应向下振动．即y轴负方向运动．

　　（2）已知波形图象和质点的振动方向，确定波的传播方向．

例3、一列横波某时刻的波形图象如图所示，已知该时刻质点P向y轴正方向运动，试确定该波的传播方向．

解析：如图所示，在质点P两侧附近各找一点M、N，因P沿y轴正方向运动，故M为先质点，N为后质点，故该波向左传播．

　　（3）已知t时刻的波形图象，求t＋△t时刻的波形图象.

例4、已知t时刻的波形图象如图所示，波向右传播，试确定时刻的是波形图各怎样的?

解析：

　　已知t时刻的波形图象及波速，求t＋△t时刻的波形图象，只要将波形图沿波的传播方向平移波的传播距离△S =v×△t就行．

　　本题中已知t时刻波形图象，波向右传播，则时刻的波形图，只要将t时刻的波形图向右平移即向右平移波长距离就行．如图(a)所示；

　　同理，时刻的波形图，如图(b)所示；

　　时刻的波形图，如图(c)所示；

　　t＋T时刻的波形图，如图(d)所示．

3．利用波的周期性和双向性分析有关问题

　　波的特点是周期性和双向性．

　　（1）传播距离的周期性

　　波在均匀媒质中传播时，传播距离可写成（n=0，1，2，……）

　　式中λ表示波长，△x是波传播途中除去波长整数倍部分之后余下的那部分距离．

　　（2）传播时间的周期性

　　波在媒质中传播时间t，总可以写成：

　　0，1，2，……）

　　式中T表示波的周期，△t表示时间t除去周期整数倍部分之后余下的那段时间．

　　（3）传播方向的双向性

　　一般地说，波在媒质中可以向各个方向传播，但在本章中所遇到的波的图象问题只限于一条直线上，即沿x轴正、负方向传播的波．

　　（4）根据以上特点，可以写出波在均匀媒质中匀速传播的速度表达式：

　　

例5、图是一列简谐波在某时刻的波形图，虚线是0.2s后的波形图，这列波可能的波速是多少？

解析：

　　波传播的方向未知时，就应想到波的传播具有双向性——沿x轴正方向和沿x轴负方向，另外，传播时间t = 0.2s和波的周期关系也未明确，就应注意波速的不确定性，即只有可能值．

若波向右传播，

∴v右=5(4n＋1)m/s（n= 0，1，2，……）

若波向左传播，

∴v左=5(4n＋3)m/s（n= 0，1，2，……）

例6、如图所示，一列向右传播的简谐横波，波速大小为0.6m/s．P质点的横坐标x=0.96m，从图中状态开始计时，求；

（1）经多长时间，P质点第一次到达波谷?

（2）经多长时间，P质点第二次到达波峰?

（3）P质点刚开始振动时，振动方向如何?

解析：

　　（1）P质点第一次到达波谷的时间，就是初始时刻x坐标为0.18m处质点的振动状态传到P点所需的时间，则：

　　又∵∴

　　（2）P质点第二次到达波峰的时间等于初始时刻x坐标为0.06m处质点的振动状态传到P质点所需的时间与一个周期的和，即：

　　又∵∴

　　（3）P质点刚开始振动的方向就是初始时刻x坐标为0.24m处质点的振动方向，因为横波向x轴正向传播，所以x坐标为0.24m处质点初始时刻振动方向沿y轴负方向，故P质点刚开始振动的方向也沿y轴负方向．

4．灵活运用单摆周期公式分析有关问题

　　单摆的周期公式为：

　　说明：

　　①公式只适用于小摆角（<5°）的情况；

　　②单摆的振动周期在振幅较小的条件下，与单摆的振幅无关，与摆球的质量无关；

　　③式中l应理解为等效摆长；

　　④式中g应理解成等效重力加速度，而不一定是单摆所在处的重力加速度．

例7、在以加速度a匀加速上升的升降机天花板上悬有一摆长为l的单摆，如图所示，求其振动周期是多大？若升降机以加速度a匀加速下降呢？

解析：

　　本题中单摆是处在匀加速上升的升降机中，摆球处于超重状态，如图所示，平衡位置的摆球，由牛顿第二定律F－mg = ma.

　　悬绳的拉力为

　　此时单摆的等效重力加速度为：g′=g＋a

　　故单摆的周期为：

　　同理，当升降机以加速度a匀加速下降时，摆球处于失重状态，如图所示．平衡位置的摆球，由牛顿第二定律得：

　　

　　此时等效重力加速度为：

　　故单摆的周期为：

　　如果a>g，当升降机匀加速下降时，摆球将靠在天花板上与升降机以相同的加速度下降．

　　如果a>g，当升降机匀加速下降时，摆的悬点固定在地板上，则它成为倒立的摆，平衡位置的小球，受力如图所示，由牛顿第二定律得：

　　∴F = m（a－g）

　　此时等效重力加速度为：

　　故单摆的周期为：

例8、如图所示，一个半径为R的圆弧形光滑竖直轨道竖直放置，今有两个质点A、B，B从圆形轨道的圆心处自由落下，空气阻力不计，A同时从非常接近O点的P点无初速释放．试问A与B谁先到达O点？

解析：

　　一切在竖直放置的光滑弧形轨道上的小幅度振动（振动范围远小于圆弧半径）都可以等效成单摆模型，其等效摆长即为圆弧半轻R，质点运动的周期为：

　　因为P点非常靠近O点，所以A质点的运动为等效单摆运动，A质点从P点运动到O点，经历周期，即：

　　而B质点的运动为自由落体运动，有：

　　∴　　∵

　　故B质点先达O点．

例9、一列横波t =0时刻的波形图如图所示，传播方向沿x轴正方向，已知在t=0.9s末，P点出现第三次波谷，则从零时刻算起，经多少秒在Q点第一次出现波峰？

解析：

　　通过对P质点运动状况分析，得出振动周期T，即得波动周期，再据波动知识求出波传播至Q点时所需时间．同时判定其运动方向，再求出其运动到波峰时间得解．P在t=0时沿y轴负向运动，经时间出现三次波谷，即

　　

　　t=0时刻波传播至x=2.5m处，传至Q点所需时间为

　　这样，Q点从平衡位置开始沿y轴负方向运动．

　　第一次到波峰还需故共需要经1.4s在Q点第一次出现波峰．

评析：

　　在解本题时，有一种错误观点是将波连续作下去，得波达到Q点时为波谷，这样还需0.2s第一次到波峰，这种出错的原因是未注意到在不同时刻波有不同的形状，实际上t=0时刻传至x =2.5m处．这一点可看作新的现象，在这一点以后质点的振动都仿照这一点的振动情况，即以后的质点的振动开始都是从平衡位置向y轴负方向运动的．

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