一、一周知识概述

　　本周主要是学习了棱锥的有关知识和多面体欧拉定理的发现.要求掌握棱锥、正棱锥的概念及性质；会求棱锥的体积，能利用等积法求点面距离；掌握欧拉公式的内容及证明，会应用欧拉公式解决一些简单问题.

二、重难点讲解

1、棱锥的定义

　　棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥.

　　正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.

2、棱锥的性质

　　如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

　　特别地（S中指的是中截面面积）

正棱锥的性质

　　（1）正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

　　（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

4、棱锥的体积

V锥=

　　利用三棱锥的体积求点面距离一般是通过等体积变换实现的，这往往是求点面距离的最佳选择.

例1、若正四棱锥底面边长为a，侧棱与底面成60°角，求正四棱锥的侧棱和斜高.

[解析]

例2、P是△ABC所在平面外的一点，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=3，求P到平面ABC的距离.

[解析]

例3、已知S一ABCD是一个正四棱锥，延长CD到E，使DE=2CD，经过B、E和棱SC的中点F作一个平面，此平面把四棱锥分成两部分，求这两部分的体积之比．

[解析]

5、欧拉公式

　　（1）简单多面体的定义

　　表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体.

　　一切凸多面体，如棱柱、棱锥、正多面体等均是简单多面体.不是凸多面体的多面体，可能是简单多面体，也可能不是.

　　（2）多面体欧拉定理

　　简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：

　　V＋F－E=2.

　　①关系式V＋F－E=2叫欧拉公式，又称为欧拉示性数．不同类型的多面体，它们的欧拉示性数也不同.

　　②在推导欧拉公式时，将复杂的不易想象的多面体的顶点数、面数、棱数的关系问题转化成我们熟知的、易掌握的平面图形的顶点数、面数、棱数的关系问题.这种空间问题平面化的转化思想应予以重视.

　　③欧拉公式可看成平面多边形的顶点数V，面数F，棱数E满足的关系式V＋F－E=2的推广形式.

　　（3）对于简单多面体而言，V＋F－E是一个常数，其棱数E有三种计算方法：（1）E=V＋F－2；（2）E=各面多边形的边数之和的一半；（3）E=顶点数与共顶点的棱数之积的一半.

例4、已知单晶铜外形是简单多面体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果单晶铜有24个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.

[解析]

例5、一个正多面体各个面的内角和为3600°，求它的面数、顶点数和棱数.

[解析]