一、基础知识总结

基础知识框图表解

二、重点知识归纳、总结

1、集合部分

　　解决集合问题时，首先要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素组成，需要对集合的文字语言、符号语言、图形语言进行相互转化．其次，由于集合知识概念多、符号多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符号的表示的特殊性．三是注意知识间的内在联系，注意集合思想与函数思想的联系，集合与不等式、解析几何、三角函数等知识的联系．

　　（1）集合中元素的三大特征

　　（2）集合的分类

　　（3）集合的三种表示方法

　　（4）集合的运算

①n元集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集；

②A∩B={x|x∈A且x∈B}

③A∪B={x|x∈A或x∈B}

④A={x|x∈S且xA}，其中AS.

2、不等式的解法

（1）含有绝对值的不等式的解法

①|x|<a(a>0)－a<x<a；

　|x|>a(a>0) x>a，或x<－a.

②|f(x)|<g(x) －g(x)<f(x)<g(x)；

　|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).

③|f(x)|<|g(x)| [f(x)]2<[g(x)]2[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]<0.

④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式：|x＋3|－|2x－1|<3x＋2.

（2）一元二次不等式的解法

　　任何一个一元二次不等式，经过不等式的同解变形，都能化为ax2＋bx＋c>0（a>0），或ax2＋bx＋c＜0（a>0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”得解集（若判别式△≤0，则利用配方法求解较方便）．

　　详细解集见下表：

　　（3）分式不等式的解法

①分类讨论去分母法：

②转整式不等式法：

运用时，必须使不等式一边为0，转化为≤0形式，则：

　　（4）高次不等式的解法

3、简易逻辑知识

　　逻辑联结词 “或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据；真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助；掌握好反证法证明问题的步骤．

　　（1）命题

①简单命题：不含逻辑联结词的命题

②复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题

　　（2）复合命题的真值表

　　　　 非p形式复合命题的真假可以用下表表示.

　　　　 p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.

　　　　 p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.

　　（3）四种命题及其相互之间的关系

　　　　　一个命题与它的逆否命题是等价的．

　　（4）充分、必要条件的判定

①若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；

②若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；

③若pq且qp，则p是q的充要条件；

④若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.

　　（5）反证法

　　反证法是“命题与其逆否命题等价”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立.

②经过推理论证，得出矛盾.

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

4、运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题

　　（1）正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的．

　　（2）在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．

　　（3）在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．

　　（4）对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，易漏掉的情况．

　　（5）若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．

　　（6）若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏．

　　（7）解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论，同解变形是解不等式的理论依据．

　　（8）学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础．

　　（9）基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具，是我们进行学习、掌握和使用语言的基础，数学又是逻辑性很强的学科，因此，学习一些逻辑知识是非常必要的，通过学习和训练可以规范和提高推理的技能，发展思维能力．重点是正确使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”，是否使用得当的依据是真值表，利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性．注意区别一些易错的逻辑关系，如“都是”、“都不是”、“不都是”．

5、在学习和运用集合知识的过程中，须注意的几个问题

　　目前在中学数学教学中，集合知识主要有两方面的应用．

　　（1）把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素．例如，方程（或方程组）的解集，不等式（或不等式组）的解集，具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集（以后会学）等，因集合元素的任意性，使得集合语言有着广泛的应用性．

　　（2）使用集合间的运算法则或运算思想，解决某些逻辑关系较复杂的问题．例如，运用集合法判断真假复合命题和充要条件，运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等．

三、学法指导

（一）要注意理解、正确运用集合概念

例1、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（　）

　　 A．P　　　　　　B．Q　　　　　　C．　　　　D．不知道

[解答]

例2、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（　）

　　 A．P∩Q=　　　　　　　　　　　B．P Q

　　 C．P=Q　　　　　　　　　　　　　 D．PQ

[解答]

（二）要充分注意集合元素的互异性

　　集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

例3、若A={2，4,a3－2a2－a＋7},B={1,a＋1,a2－2a＋2,－(a2－3a－8),a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，试求实数a的值．

[解答]

例4、已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为________．

[解答与点评]

（三）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法

　　集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．

　　反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．

例5、设集合A={a|a=n2＋1,n∈N*}，集合B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}，试证：AB．

[证明与点评]

（四）要注意空集的特殊性和特殊作用

　　空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

例6、已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．

[解答与点评]

例7、已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．

[解答与点评]

（五）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性

　　事实上，各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情．

　　对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言．

例8、已知集合有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A．

[解答与点评]

（六）要注意数形结合解集合问题

　　集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

例9、设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，试求a、b的值．

[解答与点评]

例10、若关于x的不等式|x＋2|－|1－x|<a有解，求实数a的取值范围.

[解答与点评]

（七）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用

　　对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是“正难则反”的解题策略，是补集思想的具体应用．

　　有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理．

例11、已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围．

[解答与点评]

例12、命题甲：方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．

[解答与点评]