例1、判断下列命题是否正确．若不正确，请简述理由．
1、直角坐标系中非负x轴是向量；
2、向量
与
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
3、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是
；
4、若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
5、三角形ABC中，必有
；
6、若
，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点；
7、|a＋b|≥|a－b|．
解析：
1、不正确．∵非负x轴只有方向，没有大小．∴不是向量．
2、不正确．∴共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．
并不要求两向量
，
在同一直线上．
3、正确．∵
则AB与DC平行且相等．∴ABCD是平行四边形．
4、不正确．∴a＋b可以为零向量，此时a＋b方向不确定，说与a、b之一的方向相同不妥．
5、正确．∴
．∴
．
6、不正确．∴当A、B、C三点共线时，也满足
．
7、不正确．∴当a、b不共线时，a＋b与a－b分别为以a、b为邻边的平行四边形两对角线，其长度大小不定．当a、b共线异向时反而有|a＋b|<|a－b|．
∴|a＋b|≥|a－b|不正确．
例2、如图，在以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为起点、终点的向量中，
（1）写出所有与
相等的向量；
（2）写出所有与
相反的向量；
（3）写出与
相等及相反的向量；
（4）写出与
共线的向量．
解析：
（1）与
相等的向量有：
．
（2）与
相反的向量有：
．
（3）与
相等及相反的向量有：
．
（4）与
共线的向量有：
．
例3、已知|
|＝6，|
|＝9，求
取值范围．
解析：
由向量加、减法的三角形法则知
，
∴
．
故
．
例4、如图，A1、A2、…A8是
O上的八个等分点，则在以A1、A2、…A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径
倍的向量有多少个？
分析：
（1）由于A1、A2、…A8是
O上的八个等分点，所以八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与
O的半径不相等．所以模等于半径的向量只可能是
与
（i＝1、2、…8）两类．
（2）
O内接正方形的边长是半径的
倍，所以我们应考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数．
解：
（1）模等于半径的向量只有两类，一类是
（i＝1、2、…8）共8个；另一类是
（i＝1、2、…8）也有8个．两类合计16个．
（2）以A1、A2、…A8为项点的
O内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7，另一个是正方形A2A4A6A8．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（每一边对应两个向量）的长度为半径的
倍．∴模为半径
倍的向量共有4×2×2＝16个．
例5、（1）O是△ABC内的一点，若
求证：O是△ABC的重心，反之是否正确？
（2）O为△ABC的外心，H为重心，求证：
．并由此推断，已知O是△ABC的外心（或内心，或垂心），如果满足
那么该三角形是什么形状？
分析：
（1）三角形的重心分中线两段的比为2︰1；
（2）正三角形的内心、外心、垂心和重心重合．
解析：
（1）如图a所示，以OB，OC为邻边作□BOCD，则
由于
方向相反且长度相等的向量，
在平行四边形BOCD中，设BC与OD的交点为E，
则
∴AE是△ACD的BC边上的中线，且
∴点O是△ABC的重心．反之显然正确；
（2）如图b所示，作直径BD，连DA，DC，有
∵DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，
∴CH∥DA，AH∥DC．从而四边形AHCD是平行四边形，
若O是ABC的外心，设△ABC的重心为H，
由已证结论知
即△ABC的外心与重心重合，故△ABC为正三角形．
、
……．
|．
，则向量
．
，以a，b为邻边作平行四边形ABCD，则向量
．
，则向量
．
