一、本周内容概述

　　在上学期学习了有关圆周运动的知识的基础上，新学期的第一周我们学习万有引力定律这一章。本章主要讲述万有引力定律的发现及其在天体运动中的应用，其中万有引力定律的发现、发展过程和该定律的具体运用是本章的重点。

　　本章按以下线索展开：开普勒对行星运动规律的描述为万有引力定律的发现奠定了基础→牛顿在前人研究的基础上发现了万有引力定律→卡文迪许用实验较准确地测定了引力常量，使得万有引力定律有了更实际的应用→利用万有引力及其有关知识讨论天体和人造卫星的运动情况。

二、重难点知识归纳与讲解

（一）万有引力定律

　　（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

　　（2）公式：

　　式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N。G为引力常量，标准值为G=6.67259×10－11N·m2/kg2.

　　通常取G=6.67×10－11N·m2/kg2.

　　（3）适用条件：只适用于质点间的相互作用，但当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，公式也近似成立。

　　质量分布均匀的球体也可用此公式计算两者间的引力大小，其中r指球心间的距离。

注意：

　　①两个物体间的相互吸引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反，遵守牛顿第三定律。

　　②在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，可知，这是一个常用的变换，式中g是地球表面的重力加速度。

　　③离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系为：，式中R是地球的半径，h是物体离地面的高度。

例1、两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F0，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（　）

A．2F　　　　　　　　　　　　　B．4F

C．8F　　　　　　　　　　　　　D．16F

解析：小铁球之间的万有引力

　　　大球半径是小铁球的2倍，其质量分别为：

　　　

　　　则D成立。

例2、如图所示，半径为R的铅球球心为O，在与球面相切处挖去半径为的一个小球，球心在O1，余下月牙形质量为M，在OO1连线外放有一个质量为m的小球，球心为O2，OO2距离为d，试求M，m间的万有引力。

解析：

　　万有引力定律是宇宙间一条普遍规律，它适用于一切物体间的相互作用。而在公式 中，说明引力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。r不能理解成两物体重心（或质心）间距离，公式是对质点而言的，不能随意应用于一般物体。只有当两物体都是均匀球体或物体间距离非常远，物体的大小与距离比较可忽略不计时，才可应用此公式。若两物体不能看成质点时，应把物体进行分割，使每一小块线度都远小于两者间的距离，然后用叠加的方法求总引力。

　　设想把挖去的那部分填满铅，补上小球的体积，则：

　　

　　设整个大球对O2球的万有引力为F1，则：

　　　　方向水平向左。

　　设补的那个小球对O2球的万有引力为F2，则：

　　　　方向水平向左。

　　月牙形对小球O2的万有引力由③、④得：

　　　　方向水平向左，由O2指向O1。

（二）万有引力定律在天文学上的应用

1、研究天体运动的基本方法

　　在天体运动中起决定作用的是万有引力，万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。

　　（1）我们近似地把一个天体绕另一个天体的运动看作是匀速圆周运动。向心力就是它们之间的万有引力，即：

　　

　　其中M为中心天体的质量，m为做匀速圆周运动的天体的质量，r为轨道半径，即两天体球心间的距离，a为向心加速度。应用时要根据实际情况选用适当的公式进行分析。通常物体之间的万有引力很小，以致察觉不出。但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性的作用。

　　（2）在不考虑天体自转的情况下，通常认为天体表面上的物体的重力等于它所受的万有引力，即：

　　

　　其中M为天体的质量，m为天体表面上物体的质量，R为天体的半径，g为天体的表面的重力加速度。

2、具体应用

　　（1）求天体质量

　　（2）求天体平均密度

　　（3）求天体上物体重力与重力加速度

　　（4）发现未知天体

　　（5）人造卫星与宇宙速度（见下一讲）

例3、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.67×10-11m3/kg·s2)

解析：

　　设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

　　设中子星的密度为，质量为M，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有　　　　

　　由以上各式得，代入数据解得：。

例4、根据天文学家观测，月球半径为R＝1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，月球表面在阳光的照射下温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到v0＝2000m/s。试分析月球表面没水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）

解析：

　　初看题目的已知条件与所问结果找不到直接联系的东西.但想到若月球表面有水,则月球在转动的同时,月球表面的水团也在随月球转动.由圆周运动知识可知:做圆周运动的物体，当外界提供的向心力F与物体作圆周运动所需要的向心力刚好吻合时，物体做稳定的匀速圆周运动。若外界提供的向心力F小于物体作圆周运动所需要的向心力时，物体将做离心运动而被甩出去.

　　设在地球表面上任选一部分质量为m的水团，M、R分别为地球的质量和半径。如图1所示，之所以该水团未被甩出去，是因为地球对它的万有引力刚好提供它随地球自转的向心力：

　　假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v0＝2000 m/s必须小于月球的第一宇宙速度，否则这些水将不会落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m的某水分子。

　　 =m　　　(1)

　　=mg月　　　（2）

　　g月=g　　　　(3)

　　由①②③得：v1＝＝1700m/s ＜V 即以2000m/s速度运动的水分子已脱离月球表面，也即月球表面无水。

例5、“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊的天体，它的密度极大，对周围物质（包括光子）有极强的吸引力。根据爱因斯理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，它自身发出的光子也不能向外射出，人们无法用光学方法观察到它，故称它为“黑洞”，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012m远的星体正以2.0×106m/s的速度绕它旋转，取G=6.7×10-11N·m2/kg2，试估算该黑洞的质量和半径。（取两位有效数字）

解析：

　　黑洞作为一个特殊的天体一直受到人们的广泛关注，种种迹象表明它确实存在于人的视野之外由于黑洞的特殊性，一定要抓住其“黑”的原因，即光子也逃不出它的约束，光子绕黑洞作匀周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径。根据爱因斯坦理论，光自有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它做匀速匀周运动的向心力。设黑洞的质量为M，光子的质量为m，光速为c，R为黑洞的可能最大半径。则：

　　=m　　①

　　银河系中的星体绕黑洞旋转时，也认为做的是匀速匀周运动，其向心力为二者之间的万有引力。设该星体的质量为m′，r为轨道半径。则：

　　=　　　②

　　由①②式得：R=r=3×108m

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