|
一、一周知识概述
本周主要是学习了二面角、两个平面垂直的判定与性质．要求理解二面角的定义，会作出二面角的平面角，并能通过解三角形等方法求其大小，会根据定义和判定定理判定两个平面垂直，
二、重难点知识讲解
1、二面角和二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
二面角的平面角，则是用来刻划二面角大小的一个概念。它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都化归为平面内两条相交直线所成的角来表示。但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内。而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a上的位置无关.
作二面角的平面角有三种作法：
（1）定义法：在棱上选取一点，过该点分别在两个平面内作棱的垂线，这两条射线所成的角即是.
（2）垂面法：在二面角的棱上任选一点，过该点作棱的垂面，垂面与两个半平面相交，则交线所成的角为二面角的平面角.
（3）垂线法：在二面角α— —β的一个平面α内任取一点A（不在棱 上），过A作AB⊥β于B，过A作AO⊥ 于O（或过B作BO⊥ 于O），连接BO（或AO），则∠AOB为二面角的平面角.
2、求二面角的大小的步骤：
（1）通过求二面角的平面角求二面角.
二面角的大小，可以用它的平面角来度量，所以我们求二面角关键是作（或找）出它的平面角，再求出它的平面角的大小，二面角的平面角有以下几种作法.
①定义法：根据定义作垂直于棱的平面得平面角.
②垂线法：过棱上一点分别在两个面内作棱的垂线得平面角.
③三垂线定理或逆定理法：
过二面角一个平面内的一点P，作另一个面的垂线（常利用面面垂直的性质定理），记垂足为H1，再过H1（或P）作棱的垂线，记垂足为H2，连PH2、H1H2，由三垂线定理及其逆定理可知∠PH2H1即为所求二面角的平面角.
（2）射影法
设θ为所求二面角的大小，S为二面角的一个面内的平面图形的面积，Sˊ为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则cosθ= .利用此射影面积公式，求二面角.
在求二面角时，垂线法应用最多，要重点注意。
例1、如图所示，四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，且AB=2，CD=4，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PBC为边长等于10的正三角形.
（1）求PC与底面所成角正弦值的大小；
（2）求侧面PAD与侧面PBC所成的二面角的余弦值.
[解析]
3、两个平面互相垂直的定义及画法
（1）如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直，平面α和平面β垂直，记作α⊥β．
（2）画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直．
4、两个平面垂直的判定定理
（1）两个平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
用符号表示为： ⊥β， .
（2）用来判定两个平面垂直的方法有两种：
①根据定义，两个平面相交，它们所形成的二面角是直二面角，通常先作出二面角的平面角，再证明二面角的平面角是直角；②根据判定定理，证明一个平面过另一个平面的一条垂线，即把面面垂直问题化归为线面垂直问题．这个定理可简记为“线面垂直，面面垂直”．
例2、 如图，在空间四边形 ABCD 中， AB=BC，CD=DA，E，F，G 分别为 CD，DA 和 AC 的中点，求证：平面 BEF⊥平面 BGD.
[解析]
例3、如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；
（2）求证：平面MND⊥平面PCD.
[解析]
5、两个平面垂直的性质定理
（1）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
（2）常见的结论还有：
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点，垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
②如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于这个平面．
例4、判断下列命题的真假
（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；
（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．
[解析]
例5、已知AB是夹在直二面角α－l－β内的一条线段，如图A∈α，B∈β，AB与α、β分别成45°和30°的角，AB=a，求AB在l上的射影长及AB与l所成角的大小.
[解析]
|
