一、一周知识概述

　　本周学习第九章第七节：棱柱．主要内容是棱柱的概念，棱柱的性质及斜二测画法．要求了解棱柱的概念，并能区别棱柱、直棱柱、正棱柱等概念，特别是四棱柱中的几个概念，只有区别，才能抓住它们的性质，在解题中才能合理地应用。注意准确理解直棱柱、正棱柱的的概念，从底面，侧面，棱和截面四个方面掌握棱柱几何体的性质，应用性质研究其中的线面关系。简单多面体的画法，虽然不会直接考查，但是它是解决立体几何的基本功，应予以高度重视。

二、本周重难点知识

1、棱柱的概念

　　有两个面互相平行，其余每相邻的两个面的交线互相平行的多面体叫棱柱．

　　两个互相平行的面叫棱柱的底面，简称底；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段叫做棱柱的高．

　　侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．

　　棱柱按底面分为三棱柱，四棱柱，……

2、棱柱的性质

　　一般棱柱：所有的侧棱都相等，各个侧面都是平行四边形；两底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形；过不相邻的两侧棱的截面为平行四边形。

　　正棱柱：侧棱与底面垂直，侧面为全等的矩形；两底面与平行于底的截面为全等的正多边形；直棱柱的侧面展开图为矩形。

3、棱柱间的关系

　　棱柱

　　四棱柱平行六面体直平行六面体

　　长方体正四棱柱正方体

4、长方体的相关结论

　　设长方体的三条棱长分别为a、b、c，则

　　（1）对角线长=；

　　（2）表面积S=2(ab＋bc＋ac)；

　　（3）体积V=abc；

　　（4）若对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，

　　 　　则cos2α＋cos2β＋cos2γ=1；

　　（5）若对角线与过同一顶点的三个面所成的角分别为α、β、γ，

　　　　 则cos2α＋cos2β＋cos2γ=2．

5、棱柱的侧面积

　　（1）如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧=ch；

　　（2）斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积．

6、棱柱的体积

　　V=S·h，其中S是底面积，h是高；V长方体=abc，其中a、b、c是长方体的长、宽、高；V正方体=a3，其中a是正方体的棱长．

7、直观图的画法

　　（1）水平放置的平面图形直观图的画法——斜二测画法；

　　（2）直棱柱的直观图的画法（与平面图形的斜二侧画法相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变）．

三、例题选讲

例1、下列命题中，不正确的是（　）

A．棱长都相等的长方体是正方体

B．有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱

C．有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱

D．底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

分析：

　　由平行六面体、正方体的定义知A、D正确，对于B，相邻两侧面垂直于底面，侧棱垂直于底面，该棱柱为直棱柱，因而B正确，对于C若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．

答案：C

例2、如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．

　　（1）求证：BE=EB1；

　　（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．

分析：

　　证明BE=EB1，关键要利用正三棱柱性质解题；求二面角的大小，要作出二面角的平面角，因而首先确定二面角的棱．

　　（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，

　　　　∵平面A1EC⊥平面AC1，∴EG⊥侧面AC1，

　　　　取AC的中点F，连结BF、FG，由AB=BC，得BF⊥AC，

　　　　∵平面ABC⊥侧面AC1，∴ BF⊥侧面AC1．

　　　　∴ BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．

　　　　∵ BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，

　　　　∴四边形BEGF是平行四边形，∴BE=FG．

　　　　∴ BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC．

　　　　∵ AF=FC，∴FG=AA1=BB1，

　　　　即BE=BB1，故BE=EB1．

　　（2）解答：如图，分别延长CE，C1B1交于点D，连A1D．

　　　　∵ EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，

　　　　∴ DB1=DC1=B1C1=A1B1．

　　　　∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，

　　　　　∠DA1B1=∠A1DB1=(180°－∠DB1A1)=30°.

　　　　∴∠DA1C1=∠DA1B1＋∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1.

　　　　∵ CC1⊥平面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1B1上的射影，

　　　　由三垂线定理得DA1⊥A1C.

　　　　∴∠CA1C1是所求二面角的平面角.

　　　　∴CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°.

　　　　∴∠CA1C1=45°.即所求二面角为45°.

点评：

　　本题可不作二面角的平面角，利用射影面积定理求角，设△ABC的边长为a，截面A1EC和底面所求二面角为θ，可求得，由cosθ=，求得θ=45°．

例3、如图, 正四棱柱A1B1C1D1—ABCD的底面边长为a ，高为h, 过点B的直线EF在正四棱柱下底面所在的平面内，且EF⊥BD,过EF作与底面成30°角的平面，该平面与正四棱柱的截面为BGHK．求四边形BGHK的周长和面积．

分析：

　　利用正棱柱定义找出二面角的平面角∠HBD，通过解直角三角形求得边长。

解：

　　如图，延长DC交EF于F，延长DA交EF于E，连结HF交CC1于G，连结HE交AA1于K，连结GB、KB，连结BH、GK，DB⊥EF, HB⊥EF, ∠HBD=30°，

　　在Rt△HDB中， BD=,HD=,HB=2HD=,KG=,

　　在四边形BGHK中,HG//KB,HK//GB,HB与KG互相垂直平分.

　　∴ 四边形BGHK为菱形， KB=

　　∴四边形BGHK的周长=，

　　面积SBGHK ==··=.

点评：解多面体有关问题，必须借助线、面间各种位置关系的判定和性质．

例4、如图，平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=a，AB= 2a，M，N分别是CD，AB的中点，以MN为二面角的棱将面ADMN折起；

　　（1）当二面角A—MN—B为60°时，求三棱柱ABN—DCM的体积；

　　（2）当二面角A—MN—B为多大时，此三棱柱的体积有最大值？并求出最大值．

分析：

　　折叠成的三棱柱是斜三棱柱，求其底面积和高较难，则可利用直截面面积与侧棱的乘积求得．

解答：（1）如图所示，折起前连结BD交MN于E，

　　　由余弦定理得

　　　BD2=AD2＋AB2－2AD·AB·cos60°=a2＋(2a)2－2a·2a·=3a2.

　　　∵ AB2=AD2＋BD2，

　　　∴∠ADB=90°，即AD⊥BD.

　　　又∵ MN∥DA，∴MN⊥BD.

　　　折起后，DE、MN都在同一平面ADMN内，

　　　∴ DE⊥MN，同理BE⊥MN，

　　　∴∠DEB是二面角A—MN—B的平面角.

　　　即∠DEB=60°，且DEB是三棱柱的直截面．

　　　∵ DE=BE=，△DEB是等边三角形，

　　　∴ S△DEB=，

　　　∴ V柱=AD·S△DEB=

（2）设∠DEB=α，则S△DEB=

V柱=，

当时，sinα有最大值，∴V柱有最大值．

故二面角A－MN－B的平面角是时，棱柱的体积的最大值为。

点评：

　　求斜棱柱的体积．侧面积一般都用棱柱的直截面．在折叠问题的处理中，应特别注意折叠前的点、线、面及数量关系和折叠后的变化情况，一般来说，在同一平面时折叠前后的关系不变，不在同一平面时，折叠后可能发生变化，应引起注意．