一、一周知识概述

　　本周学习内容是高二（上）数学第八章的第五节、第六节，即§8.5抛物线及其标准方程，§8.6抛物线的简单几何性质，共用四个课时，具体安排如下：第一、二节课介绍抛物线的定义及其标准方程，使学生能够根据条件熟练地写出抛物线的方程，并能够利用抛物线的定义解决问题，会求抛物线的焦点弦长等．第三、四节课主要介绍抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系．在此节的学习中，要使学生更进一步熟练掌握利用方程研究曲线的基本方法，培养学生对知识归纳、类比、迁移的能力．

二、重难点知识讲解

1、本周学习的重点是抛物线的定义及其标准方程，学习时，可通过与椭圆、双曲线的定义对比加深对抛物线定义的理解．

抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握：

　　①抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点F和一条直线的距离的比等于1的轨迹叫做抛物线．”

　　②定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它的直线的距离之比等于1．

　　③定点F不在定直线上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线的一条直线．

　　由于选取坐标系时设坐标轴有四种不同方法，因此抛物线有四种形式的方程．记忆这种对应关系的方法是：一次项的变量是x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴；一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．

　　平面内到定点F和定直线l（Fl）距离相等的点的轨迹叫抛物线，点F到直线l的距离记作p（p＞0），建立适当的坐标系，使得抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，可得到如下四种形式的标准方程，其焦点坐标和准线方程如下表所示：

　　从上表可以归纳出，对于抛物线的标准方程，焦点总在一次项的变量对应的坐标上，准线方程中的变量同标准方程中的一次项变量一致，一次项的符号决定开口方向．这些规律，便于我们讨论抛物线的性质和确定抛物线的标准方程．另应注意一次项系数为2p时，焦点、准线中为，二者为四倍的关系．

例1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点（－3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程.

[分析与答案]

例2、顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y＋1=0所得弦长为，求此抛物线的标准方程.

[分析与答案]

2、本周学习的难点是抛物线的几何性质的掌握和运用.

　　抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别很大．它的离心率等于1，它只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，没有中心．学习时应加以注意．

　　抛物线的性质分范围、对称性、顶点、离心率四个方面．把握抛物线的性质，可记住这六个字“五个一”无中心．即一条准线、一个焦点、离心率为1，一个顶点，一条对称轴，为五个“一”，抛物线无中心．

例3、过点Q（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，恰被Q平分，求AB所在直线方程.

[分析与答案]

例4、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

[分析与答案]

例5、设抛物线C：y2=2px（p＞0），过焦点F的弦AB的倾斜角为α，|AF|=m，|BF|=n.求证：

（1）；（2）.

[分析与答案]

3、直线与抛物线

　　直线与圆锥曲线的问题有交点，弦长，对称，轨迹等，处理方法基本相同，应比较前面介绍的方法解决这些问题．

例6、A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB.

求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值；

（2）直线AB过定点；

（3）若OM⊥AB，求M的轨迹方程.

[分析与答案]

例7、已知抛物线的方程为，A、B、P三点都在抛物线上，若P（2，－2），且PA、PB的倾斜角互补．

（1）求直线AB的斜率；

（2）若直线AB在y轴上的截距大于－6，求△PAB面积的最大值.

[分析与答案]