一、一周知识概述

　　本周学习平面的基本概念和空间的平行直线与异面直线．本周的学习内容是整个立体几何学的基础.与在二维空间中思考问题的方式不同，需要构建三维模型，而且使自己对周围的事物从三维的角度有一根本性的认识．要理解和掌握平面和平面的性质，空间平行直线的传递性及应用，理解等角定理及其应用，学习异面直线的概念及其判断，掌握两条异面直线所成角的概念，会求两条异面直线所成的角．

二、重难点讲解

1、立体几何概述

　　立体几何主要是研究空间点、线、面和简单几何体的几何性质、位置关系、画法、计算、证明．

学习立体几何要注意以下几点：

（1）注意立体图形与平面图形的区别与联系与平面几何作适当类比．

（2）准确作图．

（3）多观察、培养自己的空间想象能力．

2、平面的基本性质

　　平面通常用一个希腊字母α，β，γ等来表示，如平面α、平面β、平面γ等；点A在平面α内，记A∈α，点A不在平面α内，记Aα；直线l在（不在）平面α内，记lα（lα）.

　　公理1有两点作用：

（1）判定直线是否在平面内；

（2）判定一个面是否为平面.

公理2的应用为：

（1）确定交线；

（2）证明三点共线；

（3）证明三线共点.

公理3及其三个推论都可以用来证明共面问题.

例1、如图，已知△ABC三边所在的直线分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一直线上.

[解析]

例2、已知四条直线两两相交，且不经过同一点，求证：这四条直线共面.

[解析]

3、空间两条直线的位置关系

例3、已知：四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且.求证：四边形EFGH是梯形.

[解析]

　　不同在任何一个平面的两条直线称为异面直线.

　　异面直线是一个重要的概念，在理解概念上，要重点抓以下三个问题：

　　（1）如何证明两条直线是异面直线，一般采用下面两种方法：

　　一是证两直线不共面，即证两直线既不相交、也不平行，注意正确运用反证法；

　　二是根据异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

　　证明两条直线异面常根据定义和判定定理（即课本P15例3）．

例4、如图所示正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：

（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由。

（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。

[解析]

4、异面直线所成的角

　　研究异面直线所成的角，是将它们转化为两条相交直线所成的角（锐角或直角），基本方法是平移，平移时所选择的点和平行线应具有特殊的位置，或处特殊位置上，求异面直线所成角的一般步骤是：

　　（1）作图，通过平移，将空间角（两异面直线所在的角）转化为平面角（两条相交直线所成的角），而平移一般有下面三种方法：利用图中已有的平行线平移；过特殊点（如线段的中点或端点）作平行线（常作中位线）平移；补形平移；

　　（2）证明：证明某平面角就是两异直线所成的角；

　　（3）计算：通常在三角形中计算．

例5、正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，E、F分别是棱A′B′，B′C′的中点，求：

（1）异面直线AD与EF所成角的大小；

（2）异面直线B′C与EF所成角的大小；

（3）异面直线B′D与EF所成角的大小；

（4）异面直线DD′与EF的距离.

[解析]

例6、在正四面体ABCD（四个面是全等的等边三角形的四面体）中，E、F分别是AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角.

[解析]