一、一周知识概述

　　本周学习内容是高二上数学第八章的第三节和第四节，即§8.3双曲线及其标准方程，以及§8.4双曲线的简单几何性质；共用时五个课时．具体安排为§8.3两个课时，§8.4三个课时.

　　双曲线的定义、标准方程、简单几何性质与椭圆类似，所以本周内容在数学思想和方法上没有新内容，学习中可与椭圆的相关知识进行对比，注意它们的联系和区别．在本周的学习中，我们学习了双曲线的定义，标准方程的推导，并能根据条件确定双曲线的标准方程，同时通过类比椭圆几何性质的研究方法．同学们可以自主探究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，提高了类比分析归纳的能力．

二、重、难点知识的归纳与解析

1、本周学习与研究中的两个重点

　　第一个重点是§8.3中的双曲线的定义与标准方程．

　　双曲线的定义是，平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.

　　定义中“小于|F1F2|”这一限制条件十分重要，不可去掉．若定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；若定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在.

　　如果双曲线的焦点在x轴上，标准方程为（a>0,b>0）

　　如果双曲线的焦点在y轴上，标准方程为（a>0,b>0）.

　　双曲线标准方程中a>0，b>0，但a不一定大于b．如果x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.

　　第二个重点是双曲线的几何性质及其运用．

　　双曲线的简单几何性质如下表所示：

双曲线中的“六线”：两条对称轴、两条准线、两条渐近线；

　　“四点”：两个顶点、两个焦点。注意它们的位置关系及其相互间距离。

2、本周学习与研究中的两个难点

　　第一个难点是双曲线标准方程的推导．

　　与建立椭圆的标准方程一样，我们仍从双曲线的定义出发，采用坐标法，按照求曲线方程的基本步骤，推导出了双曲线的标准方程，带根式的方程的化简是我们要注意的问题.

　　第二个难点是双曲线渐近线方程的导出和论证．

　　对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．在研究双曲线范围时，由双曲线标准方程可解出：

　　，

　　当 x→＋∞时，→0，

　　双曲线与直线无限接近，使我们猜想直线为双曲线的渐近线．证明时，只要考虑双曲线在第一象限，即证当x无限增大时，双曲线上的点M（x,y）到直线的距离趋近于0即可．

三、例题点评

例1、已知方程表示的图形是

　　（1）圆　　　（2）椭圆　　　（3）双曲线

　　分别求出k的取值范围.

[解析]

例2、求渐近线方程为3x±4y=0，焦点为椭圆的一对顶点的双曲线方程.

[解析]

例3、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，

（1）求|AB|.

（2）F1是双曲线的左焦点，求△F1AB的周长．

[解析]

例4、已知双曲线.

　　（1）过点A（2，1）的直线l与所给双曲线交于两点P1、P2，求线段P1P2中点P的轨迹方程；

　　（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1、Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线若存在，求出方程；若不存在，说明理由？

[解析]