一、一周知识概述

　　本周学习了椭圆的第一定义，两种形式的标准方程及其推导过程，标准方程的求法；几个简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．椭圆的第二定义，椭圆的参数方程，直线与椭圆等.

二、重难点知识选讲

1、椭圆第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.定点F1、F2叫做椭圆的焦点，|F1F2|（即两焦点的距离）叫做椭圆的焦距.

　　集合语言叙述为：点集P={M||MF1|＋|MF2|=2a，2a>|F1F2|}，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆焦距.

例1、命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|=2a（a>0，a为常数）；乙命题：P点的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的（　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

[解析]

2、标准方程和求法

（1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程（a>b>0）；

（2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程（a>b>0）.

3、方程Ax2＋By2=C表示椭圆的条件是A、B、C同号，且A≠B，可化为标准形式.

例2、求椭圆的焦点坐标，若AB为过左焦点F1的弦，则△F2AB（F2为右焦点）的周长为多少？

[解析]

例3、求椭圆mx2＋ny2＋mn=0（m<n<0）的焦点坐标.

[解析]

4、求标准方程

（1）待定系数法

首先确定焦点所在轴，设出对应的标准方程形式，再利用条件求出a，b的值.

例4、根据下列条件，分别求出椭圆的标准方程.

（1）焦点坐标为（0，－4），（0，4），a=5；

（2）a=，c=1；

（3）经过两点.

[解析]

（2）定义法

例5、已知⊙M：(x＋1)2＋y2=16及点A（1，0），C为⊙M上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CM的交点P的轨迹方程.

[解析]

5、椭圆的简单几何性质：（研究（a>b>0））.

（1）范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]；

（2）对称性：关于x轴，y轴和原点都对称，若符合其中两种对称，则必符合另一种对称；

（3）顶点：

A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）.A1A2叫长轴，B1B2叫短轴.

（4）离心率：

e是刻画椭圆的圆扁程度的量，e→1时，椭圆越扁e→0时，椭圆越接近圆.

例6、已知椭圆x2＋(m＋3)y2=m的离心率时，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标.

[解析]

6、椭圆的第二定义

　　平面内与定点F的距离和它到直线l的距离的比是小于1的正常数e的点的轨迹叫椭圆．定点F为焦点，定直线l称为相应的准线，且左焦点与左准线对应，右焦点与右准线对应，常数e为椭圆的离心率．

　　如图，对于椭圆（a>b>0），相对应于焦点F2（c，0）的准线方程是；相对应于F1（－c，0）的准线方程是，由第二定义易得：当P为椭圆上一点时，|PF1|=a＋ex0，|PF2|=a－ex0，习惯上称线段PF1，PF2为焦半径．

例7、椭圆上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为（ 　）

A．8　　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D．

[解析]

7、椭圆的参数方程

　　若椭圆方程为（a>b>0），则其参数方程为（θ为参数）．我们常利用椭圆的参数方程解决与椭圆上动点有关的问题．

例8、已知点P在圆O′：上移动，点Q在椭圆x2＋4y2=4上移动，求|PQ|的最大值及相应的点Q的坐标.

[解析]

3、直线与椭圆

　　有关直线与椭圆的综合问题，应该说既是这章的重点，又是这一章的难点，处理方法是将直线方程与椭圆方程联系，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程．△>0时，直线与椭圆有两个公共点，且两点间距离为（k为直线斜率，x1、x2为两公共点坐标）．若将两点坐标分别代入椭圆方程，并两式相减得（（x0，y0）为两公共点的中点），这就是我们常说的点差法．

　　△=0时，直线与椭圆有且只有一个公共点；△<0时，直线与椭圆无公共点.

例9、设x，y∈R，为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量

　　（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；

　　（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.

[解析]