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直线的倾斜角和斜率及直线的方程

一、一周知识概述

  本周是解析几何的开始,介绍了直线的斜率及倾斜角的定义,给出直线斜率的计算公式.又重点学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种形式.通过本周的学习,要了解在平面解析几何中如何表示直线,以及直线的性质,了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法.重点培养一种数形结合的能力,代数式与图形的相互转化,理论与实践相互统一,从感性认识提高到理性认识.

二、重难点知识归纳总结

  直线的倾斜角和斜率的概念是本节的重点,直线方程的点斜式是求直线方程的基本形式,是求直线方程的重点.

  斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立,以及依据所给条件的异同与特点,合理选取直线方程的不同形式是本节的难点.

(1)、直线的方程与方程的直线

  以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时,这个方程叫这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.

  在平面解析几何里研究直线时,就是利用直线与方程这种关系建立直线的方程,并通过方程来研究直线的有关问题.

(2)、直线的倾斜角与斜率

  在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角为,则就叫做直线的倾斜角;当直线和x轴平行或重合时,规定此时直线的倾斜角为0°,因此,倾斜角的范围是0°≤<180°

  倾斜角是一个几何概念,直观的描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.

  倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示,即k=tan,直线的倾斜角为90°时,没有斜率.

(3)、直线的斜率公式

  在平面坐标系内,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)决定一条直线,当直线P1P2的倾斜角不为90°时,它的斜率公式为:

  斜率公式与两点的顺序无关,

  若y2=y1, x2≠x1,则直线P1P2与x轴平行或重合,k=0;若y2≠y1,x2=x1,则直线的倾斜角为90°,斜率不存在.

(4)、直线方程的点斜式

  若直线l经过点P1(x1,y1),且斜率为k,则l的方程为:y-y1=k(x-x1).

  若l过P0(x0,y0)且与x轴平行或重合,则k=0,由点斜式有y=y0

  若l过P0(x0,y0)且与x轴垂直,则l的倾斜角为90°,没有斜率,此时直线方程不能用点斜式表示,应为x=x0

(5)、直线方程的斜截式

  若已知直线l的斜率为k,与y轴的交点为P(0,b), 代入点斜式有:y-b=k(x-0),即y=kx+b.b是直线l在y轴上的截距,截距可以是任一实数,而距离只能是非负数.

  求截距的方法:在直线l的方程中,令x=0,解出y值,可得直线l在y轴上的截距;令y=0,解出x,即得直线在x轴上的截距.

(6)、直线方程的两点式

  已知直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线l 的方程为:

  当直线l没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时不能用两点式计算.

(7)、直线方程的截距式

  已知直线l与x轴交点为(a,o),与y轴交点为(0,b),其中ab≠0,则直线l的方程为

  已知l在坐标轴上的截距且不为零时,用截距式表示方程可以快速准确的画出直线来.

(8)、直线方程的一般式

  直线方程的四种形式不能表示所有的直线,都有特殊情形需要单独讨论,可以用二元一次方程统一起来.

  ①直线的方程都可以写成关于x,y的二元一次方程.

证明:在平面直角坐标系中,每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应.

i)当≠90°时,方程可以写成y=kx+b的形式,即:kx-y+b=0;

ii) 当=90°时,它的方程可以写成x=x1的形式,即:x+0·y-x1=0.

  ∴ 直线的方程可以写成关于x,y的二元一次方程的形式.

②任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

证明:关于x,y的二元一次方程的一般形式是

  Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0).

  i) 当B≠0时,可化为,它表示斜率为,在y轴上的截距为的一条直线.

  ii)当B=0时,A≠0,有,它可以表示一条与y轴平行或重合的直线.

  ∴ 关于x,y的二元一次方程表示一条直线.

  因此,我们把方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)叫做直线方程的一般形式.

  直线方程的其它形式都可以化为一般式;在满足某些条件时,直线方程的一般式也可以化为其它形式.

2、本周所学内容的难点.

  直线的方程和方程的直线的理解,斜率公式的建立,直线的方程的几种形式以及它们之间的相互转化,每一种方程所对应的直线的特征及要求.由给定直线上的点或斜率写出直线的方程.

方程名称

方程形式

方程的局限性

点斜式

y-y0=k(x-x0)

不包括与x轴垂直的直线

斜截式

y=kx+b

不包括与x轴垂直的直线

两点式

不包括与坐标轴垂直的直线

截距式

(a,b≠0)

不包括与坐标轴垂直及过原点的直线

一般式

Ax+By+C=0

(A,B不同时为零)

 

3、直线方程形式的运用技巧

  (1)一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率通常选择斜截式或点斜式;已知截距或两点通常选择截距式或两点式.

  另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴所围成的三角形面积或周长,则应选用截距式.

  (2)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法,但要注意选择形式,一般地,已知一待定斜率k,但应注意讨论斜率k不存在的情形,如果已知斜率k,一般选择斜截式,待定截距b.如果已知直线与坐标轴围成三角形问题题就选择截距式,待定横截距和纵截距.一般说来,几个系数待定就应列出几个方程.

  有的直线方程可以同时选用几种形式,但有的形式不同,导致的运算,繁简程度就不同.

三、例题点评

例1: 已知两点A(-3,4),B(4,1),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点.

  (1)求直线l的斜率k的取值范围;

  (2)求直线l的倾斜角α的取值范围.

[答案]

例2:求倾斜角为直线的倾斜角的一半,且分别满足下列条件的直线的方程:

  (1)经过点(-4,1);

  (2)在y轴上的截距为-10;

[答案]

例3: 已知直线l过点P(3,2),且与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点(如图所示).

  (1)求△AOB的面积的最小值及其这时的直线l的方程;

  (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值.

[答案]

例4:设直线l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值.

  (1)、l在x轴上的截距为-3;

  (2)、斜率为1.

[答案]

例5:已知过定点A(8,6)的四条直线,其倾斜角的比是1︰2︰3︰4,第二条直线的方程是3x-4y=0,求其余三条直线的方程.

例6:过点P(3,0)作直线l,使它被两相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段AB恰好被点P平分,求直线l的方程.

[答案]

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