一、一周知识概述

本周主要学习函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质．

二、重难点知识讲解

1、用“五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）的简图．

　　用“五点法”作y=Asin（ωx+φ）的简图，主要是通过变量代换，设X=ωx+φ，由X取0、来求出相对应的x值，通过列表、计算得出五点坐标，描点后即得出图像．

2、y=sinx的图像到y=Asin（ωx+φ）的变换

　　函数y=Asin（ωx+φ）的图像可由y=sinx的图像经过如下变换而得到：

　　其中相位变换中平移量|φ|个单位，φ＞0时，向左移，φ＜0时向右移；周期变换中的纵坐标不变，横坐标为原来的倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．

　　当变换顺序改变后，即先周期变换，后相位变换时，平移量变为个单位．

3、函数y=Asin(ωx＋)的性质与y=sinx的性质对比

4、根据函数图像提供的信息，求y=Asin（ωx+φ）＋k的表达式．

　　若已知函数的图像求它对应的解析式，一般是仔细观察图像，从它提示出特征，如一个或半个周期，最高点与最低点，与x轴与y轴的交点或其他特殊点等．

　　如果所求函数解析式为y=Asin（ωx+φ），此时最大值与最小值互为相反数．A由图像的最高点与最低点确定，ω由周期T确定，T由相邻的两个最高点或最低点确定，φ由已知点的坐标确定．

　　如果函数的最大值与最小值不互为相反数，说明解析式为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，设最大值为m，最小值为n，则A+k=m,-A+k=n，从而．

　　值得注意的是，在将已知点的坐标代入解析式求φ的值时，φ可以有多个不同的点，因此由图像求得的y=Asin（ωx+φ）表达式不惟一．如果对φ的取值范围加以限制，则表达式是惟一确定的．

三、例题讲解

例1、已知函数在一个周期内的简图（如图）．求其相应的函数表达式，并说明它是经过怎样变换得到的．

分析：

　　应求出A．ω、φ，观察图像易知振幅A=2，周期，从而求得ω，对于φ，只需将点代入解析式即可通过解方程获得．得知函数表达式则图像变换易知．

解：

　　因为，所以ω=2，又易知A=2，所以．

　　将点代入上式得 ．

　　即，由得，所以．

　　它的图像可由的图像作如下变换得到：

小结：

　　利用图像特征确定函数解析式y=Asin（ωx+φ）+k或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：

　　（1）振幅.

　　（2）相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为，由此推出ω值.

　　（3）确定ω值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.

例2、单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为：

　　（1）作出它的图像；

　　（2）单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？

　　（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？

　　（4）单摆来回摆动一次需多少时间？

解：（l）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：

　　用光滑曲线连接这些点，得函数的图像（如图）

　　（2）当t=0时，，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm．

　　（3）的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm．

　　（4）的周期，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s．

评注：在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便．

例3、函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是的图像，试求函数y=f(x)的解析式．

分析：

　　这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由变换到y=f(x)；二是代换法，即设y=Asin（ωx+φ），然后按题设中的变换分两步得：，它就是，即可求得A、ω、φ的值．

解：解法一：

　　问题即是将的图像先向右平移个单位，得到；

　　再将横坐标压缩到原来的，得，

　　即，这就是所求函数f(x)的解析式、

　　解法二：

　　设y=Asin(ωx+φ），将它的横坐标伸长到原来的两倍得到；

　　再将其图像向左平移个单位，

　　得=．

　　∴ 解之得：

　　∴ ，即．

小结：以上两种解法各有“千秋”，均为求解类似问题的好方法，注意熟练掌握．

例4、已知函数的图像的一个最高点为（2，），由这个最高点到相邻最低点，图像与x轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式．

解：

　　∵ 最高点为（2，），A=，

　　由题意知从最高点到相邻最低点时交x轴于（6，0），

　　∴ ，即T=16．

　　∴ ．

　　代入最高点坐标，

　　，

　　∴ ，．

　　函数解析式为．

例5、函数y=Asin(ωx＋φ)(A﹥0, ω﹥0)

　　（1）φ取何值时，f(x)为奇函数；

　　（2）φ取何值时，f(x)为偶函数.

分析：

　　判断函数的奇偶性首先要看定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与f(x)的关系.

解答：

　　（1）∵x∈R，∴要使f(x)是奇函数，即f(x)＋f(－x)=0，

　　　　即Asin(ωx＋φ)＋Asin(－ωx＋φ)=0

　　　　∴2Asinφ·cosωx=0

　　　　∵cosωx不恒为0，

　　　　∴sinφ=0，即φ=kπ.

　　　　故φ=kπ时，f(x)为奇函数.

　　（2）若f(x)是偶函数，则 f(x)－f(－x)=0，即

　　　　　Asin(ωx＋φ)－Asin(－ωx＋φ)=0

　　　　　∴2Acosφ·sinωx=0

　　　　　∵sinωx不恒为0，

　　　　　∴cosφ=0，即φ=.

　　　　　故φ=(k∈Z)时，f(x)为偶函数.

总结：由此题可类比得出函数y=Acos(ωx＋φ)的奇偶性规律：

　　　φ=时，y=Acos(ωx＋φ)是奇函数.

　　　φ=kπ(k∈Z)时，y=Acos(ωx＋φ)是偶函数.

例6、若f(x)=1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a).

　　（1）试用a表示出g(a)；

　　（2）求使的a的值，并对此a求f(x)的最大值.

分析：

　　本题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题，需要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.

解答：（1）f(x)=1－2a－2acosx－2(1－cos2x)

　　　　　　　 =2cos2x－2acosx－2a－1

　　　　　　　

　　　　　　令cosx=t，t∈[－1,1]，则

　　　　　　

　　　　　　①当，即a﹤－2时

　　　　　　　由t=－1得，g(a)=1－2a＋2a=1

　　　　　　②当

　　　　　　　

　　　　　　③当时，a﹥2时，由t=1得，g(a)=1－4a.

　　　　　　　

　　　　（2）要使g(a)=，则a应在[－2，2]内，

　　　　　　 由,得a=－1或a=－3

　　　　　　

　　　　　　a=－1时，f(x)=2cos2x＋2cosx＋1=

　　　　　　当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z）时，f(x)的最大值为5.

例7、如图，已知水渠的横断面是等腰梯形，水渠的深度为h，横截面的面积为S，试求当水渠的倾斜角α为何值时，才能使水渗漏量最小，同时也能使水流的阻力最小？

分析：

　　根据题意，要使水渠的水渗漏量及水流的阻力最小，即使(AB＋CD＋BC)的周长最小，因此本题可转化为三角函数的最值问题.

解答：

　　由

　　

　　当y取最小值