一、一周知识概述

　　函数的单调性是函数的重要性质之一，它是研究函数值随自变量变化的一种趋势，如果函数值的变化与自变量的变化保持一致，则为增函数；如果函数值的变化与自变量的变化相反，则为减函数．

　　函数的单调性可以借助函数的图象来研究．具有单调性的函数的图象特征：增函数的图象是上升曲线，减函数的图象是下降曲线．

　　特别值得注意的是，函数的单调性与对应区间有关．

　　了解反函数的的概念及互为反函数的函数图象间的关系，掌握并会灵活应用互为反函数的函数图象间的关系.

二、知识要点归纳

1、函数的单调性

　　（1）设函数y=f(x)的定义域是M，区间D是M的一个子集，若对于当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)成立，则称函数y=f(x)在区间D上是单调递增函数．

　　（2）设函数y=f(x)的定义域是M，区间D是M的一个子集，若对于当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)成立，则称函数y=f(x)在区间D上是单调递减函数．

　　（3）单调函数：

　　单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D上为单调函数，则称D是这个函数的单调区间．

2、单调函数的基本性质

　　（1）y=f(x)在区间I上是单调递增（减）函数，c，d都是常数，则y=cf(x)+d在I上也是单调函数．若c＞0，y=cf(x)+d在I上是单调递增（减）函数；若c＜0，y=cf(x)+d在I是单调递减（增）函数．

　　（2）若函数y=f（x）与y=g（x）在区间I上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I上也是单调递增（减）函数．

　　（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a，b）上为增函数．

　　（4）u=g(x)在（a，b）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a，b）上为减函数．

3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性

4、反函数的概念：

　　（1）只有自变量x与其对应的函数值y是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．

　　（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.

　　（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

5、反函数的性质

　　（1）y =f－1(x)是y=f（x）的反函数，则y=f（x）也是y =f－1(x)的反函数，即y=f(x)和y =f－1(x)互为反函数．

　　（2）函数y=f(x)存在反函数的充要条件是函数y=f(x)是定义域到值域的一一映射．

　　（3）函数y=f(x)和反函数y =f－1(x)的定义域，值域互换，即

6、互为反函数的图象关系

　　函数y=f(x)的图象和它的反函数y =f－1(x)的图象关于直线y=x对称．

7、反函数与原函数的其它性质和联系

　　（1）反函数与原函数

　　f[f-1(x)]=x，f－1[f(x)]=x

　　注：f－1 [f－1(x)]）并不是反函数的反函数，而是y=f－1(x)与自身形成的复合函数，谨防出现f－1 [f－1(x)]=f(x)的错误作法.

　　（2）反函数与单调性

　　如果函数y=f(x)有单调性，则反函数y=f－1(x)也有与y=f(x)一致的单调性，即y=f(x)在[a，b]上为增函数，则y=f－1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数；y=f(x)在[a，b]上为减函数，则y=f－1(x)在[f(b)，f(a)]上为减函数．

8、复合函数的单调性

　　复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必定是增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必定是减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：

　　（1）求出复合函数的定义域；

　　（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其定义域；

　　（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围；

　　（4）根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.

三、方法指导

1、判定函数单调性的方法

　（1）定义法：根据函数单调性的定义进行证明，其步骤如下：

　　第一步：取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.

　　第二步：作差变形．即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．

　　第三步：定正负．确定差f(x1)-f(x2)的正负，当正负不确定时，可以进行分区间讨论．

　　第四步：判断．根据定义作出结论．

　　即“取值——作差变形——定正负——判断”这几个步骤．

　　（2）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数，

　　二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出，注意了解以下一

　　些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：

①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反．

②当f(x)恒为正或恒为负时 ，函数的单调性相反．

③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等．

　　（3）图象法：根据函数的图象进行判断．

四、重点知识评析

1、如何判定函数的单调性？

例1、讨论函数（x>0）的单调性.

[解析]

2、如何求复合函数的单调区间？

例2 已知f(x)=8+2x-x2， g(x)=f(2-x2)，试求g(x)的单调区间．

[解析]

3、如何求反函数？

例3、已知函数（－5≤x≤0），点P（－2，－4）在它的反函数的图象上.

（1）求f(x)的反函数f－1（x）；

（2）证明f－1（x）在其定义域上是减函数.

[解析]

4、如何利用反函数求值域？

例4、求函数的值域

　

[解析]

5、如何利用互为反函数图象的对称性解决问题？

例5、已知函数y=kx＋b的图象过(1，2)点，它的反函数f-1(x)的图象过(4，0)点， 求函数f(x)的解析式.

[解析]

例6、设f(x)的定义域为（0，＋∞），且对一切x、y>0，都有=f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x)的单调性并证明；

（3）若f(6)=1，解不等式.

[解析]