一、一周知识概述

　　先由动量定理和牛顿第三定律引入动量守恒定律，讲述动量守恒定律适用条件，强调动量守恒定律方程的矢量性和同时性。通过碰撞、爆炸等力学过程的分析求解，介绍了运用动量守恒定律解题的基本步骤和方法。

二、重难点知识归纳与讲解

1、动量守恒定律的内容、表达式

　　定律内容：一个系统不受外力或者所受合外力为零，这个系统的总动量保持不变。

　　定律的数学表达式：p1＋p2=p1′＋p2′本式为由两个物体组成的系统的动量守恒常见表达式，式中p1、p2表示初状态时1、2两个物体的动量，p1′、p2′表示末状态时1、2两个物体的动量。

2、动量守恒定律适应条件的理解

（1）系统不爱受外力或系统所受合外力零。

（2）系统所受的外力的合力虽不为零，但比系统内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力、空中爆炸过程中的重力等与这些力学过程中系统内部物体间相互作用的内力相比小得多，因而系统经历的这些力学过程而视为动量守恒。

（3）系统所受的合外力虽不为零，但在某个方向上力的分量和为零，则系统的总动量在该方向上的分量守恒。

　　动量守恒定律具有广泛的适应范围。只要系统所受的合外力为零，不论系统内部物体之间相互作用力的性质如何，不论系统内各物体是否具有相同的运动方向，不论物体相互作用时是否直接接触，也不论相互作用后物体粘合在一起还是分裂成碎块，动量守恒定律都适用，动量守恒定律不仅适用于低速运动的宏观物体，还适用于接近光速运动的微观粒子的相互作用，在自然界中，大到天体间相互作用，小到基本粒子间的相互作用，都遵守动量守恒定律。

3、运用应用动量守恒定律解题的基本步骤

（1）分析题意，明确研究对象，在分析相互作用的物体总动量是否守恒时，通常把这些被研究的物体称为系统，要明确所研究的系统是由哪几个物体组成的。

（2）要对系统内的物体进行受力分析，弄清哪些是系统内部物体之间相互作用力，即内力；哪些是系统外物体对系统内物体的作用力，即外力。在受力分析的基础上，根据动量守恒的条件，判断能否应用动量守恒定律。

（3）明确所研究的相互作用过程，确定过程的始、末状态，即系统内各个物体的初动量、末动量的量值或表达式。

　　对于物体在相互作用前后运动方向都在一条直线上的情形，动量守恒方程中各个动量（或速度）的方向可以用代数符号正、负表示。选取某个已知量的方向为正方向以后，凡是和选定的正方向同向的已知量取正值，反向的取负值。

　　注意：在研究地面上物体间相互作用的过程时，各物体运动的速度均取地球为参照物。

（4）建立动量守恒方程，代入已知量，解出待求量，计算结果如果是正的，说明该量的方向与选定的正方向相同；如果是负的，则与选定的正方向相反。

三、典型分析

例1、一个连同装备总质量为M＝100 kg的宇航员，在距离飞船s＝45 m处与飞船处于相对静止状态，宇航员背着装有质量为m0＝0.5 kg氧气的贮气筒，筒有个可以使氧气以v＝50 m／s的速度喷出的喷嘴，宇航员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用。宇航员的耗氧率为Q＝2.5×l0－4kg／s。不考虑喷出氧气对设备及宇航员总质量的影响，则：

　　（1）瞬时喷出多少氧气，宇航员才能安全返回飞船?

　　（2）宇航员安全返回到飞船的最长和最短时间分别为多少?

　　（3）为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气?返回时间又是多少?

提示：

　　一般飞船沿椭圆轨道运动，不是惯性参考系，但是，在一段很短的圆弧上，可以视为飞船做匀速直线运动，是惯性参考系

解析：

　　（1）结合题目中的第（1）、第（2）两问不难看出，第（1）问所求的喷出氧气的质量m应有一个范围。若m太小，宇航员获得的速度也小，虽贮气筒中剩余的氧气较多，但由于返回飞船所用的时间太长，将无法满足他在途中呼吸所用。若m太大，宇航员获得的速度虽然大了，而筒中氧气太少，也无法满足其呼吸所用．所以m对应的最小和最大两个临界值都应是氧气恰好用完的情况。设瞬间喷气m kg氧气时，宇航员恰能安全返回，

　　根据动量守恒定律可得：mv＝MV　　①

　　宇航员匀速返回的时间为：t＝　　②

　　贮气筒中氧气的总质量：m0≥m＋Qt　　③

　　代入数据解①②③可得瞬间喷出的氧气质量应满足

　　0.05 kg≤m≤0.45 kg

　　（2）根据①式及②式得t＝④

　　当m＝0.05kg时，可求得宇航员安全返回到飞船的最长时间为t＝1800s

　　当m＝0.45kg时，可求得宇航员安全返回到飞船的最短时间为t＝200s

　　（3）当总耗氧量最低时，设宇航员安全返回时，共消耗氧气Δm，则：

　　Δm＝m+Qt ⑤

　　由①②⑤式可得：Δm＝+m＝

　　当m＝2.25×10－2　即m＝0.15 kg时，Δm有极小值。故

　　总耗氧量最低时，应一次喷出0.15 kg的氧气。

　　将m＝0.15kg代入①②两式可解得返回时间：t＝600s

　　说明：高考对能力的要求越来越高，这其中就包括推理能力和应用数学知识处理物理问题的能力。对于较复杂的物理问题，如何根据题目中所给的事实及隐含条件，对物理问题进行逻辑推理，找出相关的临界过程，建立必要的数学方程式，并能从数学的角度加以处理，对今后的高考将会变得越来越重要。

例2、质量为M的平板小车上，站着n个质量均为m的人.车原来静止在光滑水现面上，现车上的人依次从车的同一端沿水平方向跳下车，每人跳离车时对地的速度均为v，当车上的人全部跳离小车后，小车的速度多大？

解析：

　　方法1：用数学归纳法。当人依次跳离小车时，人与小车构成的系统满足动量守恒，设第一个人跳离小车时，小车的速度为v1,第二人跳离小车时，小车的速度为v2，…第n个人跳离小车时，小车的速度为vn，由动量守恒定律，设小车速度方向 为正：

　　第一人跳离小车时：[M＋(n－1)m]v1=mv

　　可得：v1=mv/[ M＋(n－1)m]①

　　第二人跳离小车时：[M＋(n－1)m]v1=[M＋(n－2)m]v2－mv

　　可得：v2=2mv/[ M＋(n－2)m]②

　　第三人跳离小车时：[M＋(n－2)m]v2=[M＋(n－3)m]v3－mv

　　可得：v3=3mv/[ M＋(n－3)m]③

　　比较①②③式，可知

　　第n个人跳离小车时，车速vn=nmv/[ M＋(n－n)m]

　　即.

　　方法2：对人与小车构成的系统，当人跳离小车时，满足动量守恒，人跳离过程的总动量nmv与车获得的总动量Mvn必定大小相等，方向相反，即nmv=Mvn.

　　可得最终车的速度为vn=nmv/M.

例3、如图所示，水平桌面上放着一个半径为R的光滑环形轨道，在轨道内放入两个质量分别是M和m的小球（均可看作质点），两球间夹着少许炸药。开始时两球接触，点燃炸药爆炸后两球沿轨道反向运动一段时间后相遇。到它们相遇时，M转过的角度θ是多少？

解析：

　　在炸药爆炸瞬间，两球作为一个系统总动量守恒。以后两小球在轨道外壁弹力作用下在水平轨道内做匀速圆周运动，经过一段时间相遇。

　　设炸药爆炸时，M的速度为v1,m的速度为v2，两球的运动方向相反，由动量守恒定律有

　　Mv1－mv2=0.　即　Mv1=mv2.①

　　以后两球各自沿圆形轨道作圆周运动，由于两球都只受外壁压力（方向指向环中心），因此两球都做匀速圆周运动。设经过时间t两球再次相遇，则由运动学公式有

　　v1t＋v2t=2πR②

　　由①式有v2=代入②，得：

　　v1t=.③

　　v1t就是小球M在圆环轨道内移过的距离（即弧长）.因此，M球转过的角度

　　θ=.

答案：θ=.

例4、如图2所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A（视为质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰，碰后B和C黏在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力．已知A滑到C的右端而未掉下。试问：

从B、C发生正碰到A刚移到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍?

图2

解析：

　　设A、B、C的质量均为m。碰撞前，A与B的共同速度为v0，碰撞后B与C的共同速度为v1对B、C，由动量守恒定律得（须注意：在B、C发生正碰的瞬间，A运动状态没有发生变化）

　　mvo=2mv1

　　设A滑至C的右端时，三者的共同速度为v2．对A、B、C，由动量守恒定律得

　　2mvo=3mv2

　　设A与C的动摩擦因数为，从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为s，对B、C由功能关系

　　mgs＝（2m）v22－（2m）v12

　　设C的长度为l，对A，由功能关系

　　mg（s+l）=

　　由以上各式解得

　　＝

说明：

　　（1）分析碰撞问题时，若涉及到多个物体，须明确哪些物体直接相碰，在碰撞中运动状态发生了变化，哪些物体没有直接相碰，在碰撞中运动状态没有发生变化。

　　（2）分析这类问题，常将动量守恒和能量守恒结合起来解决问题。

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